苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课后练习题

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考点一：直角三角形斜边上的中线 考点二：三角形中位线定理
考点三：菱形的性质 考点四：菱形的判定
考点五：菱形的判定与性质 考点六：矩形的性质
考点七：矩形的判定 考点八：矩形的判定与性质
考点九：正方形的性质 考点十：正方形的判定
考点十一：正方形的判定与性质
考点考向
一．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
二．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
三．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
四．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
五．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
六．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
七．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
八．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
九．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
十．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
十一．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
考点精讲
一．直角三角形斜边上的中线（共3小题）
1．（2022秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20B．12C．16D．13
2．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝ cm．
3．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝ °时，△BED是等边三角形．
二．三角形中位线定理（共5小题）
4．（2022春•如皋市校级月考）已知：四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．2＜MN＜10D．2＜MN≤10
5．（2022春•洪泽区期末）如图，△ABE中，BA＝BE，BD⊥AE于点D，C是BE延长线上一点，F是AC的中点，连接DF，若CE＝8，则DF的长为 ．
6．（2022春•淮安区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC，连结DM、DN、MN，求DN的长．
（1）求DN的长；
（2）直接写出△BDM的面积为 ．
7．（2022春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．
（1）求证：EN∥AB．
（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．
8．（2022春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数．
三．菱形的性质（共9小题）
9．（2022春•天宁区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．2B．8C．10D．2
10．（2022春•宜兴市校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1B．1.3C．1.5D．2
11．（2022春•姜堰区校级月考）已知菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的周长为 ．
12．（2022春•太仓市校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 ．
13．（2022春•姑苏区校级月考）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为 cm．
14．（2022春•泰州月考）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上运动，且BE＝AF．
（1）试说明：∠BEC＝∠AFC．
（2）判断△ECF是什么特殊的三角形，并证明．
15．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．
16．（2022春•淮阴区期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠E＝50°，求∠DCO的度数．
17．（2022•江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周长．
四．菱形的判定（共7小题）
18．（2022春•盐城期末）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，从下列选项中选择一个条件，仍不能判断四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AB＝ADD．∠ABD＝∠CBD
19．（2022春•工业园区校级期中）平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别是A（m，﹣1）、B（0，﹣4）、C（0，1）、D（m，a），且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
20．（2022春•通州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过AD的中点O作垂线，分别交AB，AC于E，F两点，连接DE，DF．求证：四边形AEDF是菱形．
21．（2022春•鼓楼区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE＝AC＝CF，连接BE、BF、DE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠EDC＝90°，则当∠DEA＝ °时，四边形BEDF是菱形．
22．（2022春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
23．（2022春•宝应县月考）已知：如图，在▱ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．
求证：（1）AB＝AE；
（2）四边形ABFE是菱形．
24．（2021•玄武区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
五．菱形的判定与性质（共6小题）
25．（2022春•宜兴市校级月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．
26．（2022春•锡山区期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．
27．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
28．（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
29．（2022春•海安市期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
30．（2022春•江都区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝3，AC＝4，求EF的长．
六．矩形的性质（共5小题）
31．（2022春•亭湖区校级期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和等于360度B．对角相等
C．对边平行且相等D．对角线互相垂直
32．（2022春•张家港市校级月考）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
33．（2022春•工业园区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，且当P运动了一秒后才以每秒2cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，动点P、Q能与点A、点C形成平行四边形APCQ的次数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
34．（2022春•亭湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝ °．
35．（2022春•宜兴市校级月考）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
七．矩形的判定（共5小题）
36．（2022春•仪征市校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件： 使四边形ABCD为矩形．
37．（2022春•盐城期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 ．（只需写出一个符合要求的条件）
38．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足条件 时，四边形GEHF是矩形．
39．（2022春•高新区校级期末）如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：BC＝DE；
（2）连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件？并说明理由．
40．（2022春•高邮市期末）如图，在▱ABCD中，点O是AD的中点，连接CO，BA、CO的延长线相交于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）当∠AOC与∠B满足的数量关系为 时，四边形ACDE是矩形．
八．矩形的判定与性质（共9小题）
41．（2022春•洪泽区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4B．2C．1.5D．1.2
42．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
43．（2022春•靖江市期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝ °．
44．（2022春•江阴市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，BD＝4，AD＝2，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
45．（2022春•江阴市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 ．
46．（2022春•亭湖区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
47．（2022春•洪泽区校级月考）如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH．四边形EFGH是矩形吗？为什么？
48．（2022春•滨湖区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积．
49．（2022春•徐州期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．请说明四边形ABCD为矩形的理由．
九．正方形的性质（共4小题）
50．（2022春•秦淮区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
51．（2022春•工业园区期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD．
（1）若CF的长度为2，求EF的长度和AE的长度；
（2）求证∠AEF＝90°．
52．（2022春•靖江市校级期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若菱形AECF的边长为2，BF＝2，求正方形ABCD的边长．
53．（2022春•海陵区校级期末）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
一十．正方形的判定（共3小题）
54．（2022春•梁溪区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状并证明．
55．（2022春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，BE，CD的延长线交于点F，CD＝DF，AC＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当△ACF满足条件 时，四边形ABCD是正方形．
56．（2022春•隆安县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．
（1）求证：BC＝BE；
（2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证：四边形ABCD是正方形．
一十一．正方形的判定与性质（共4小题）
57．（2022春•姜堰区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F．
（1）求证：四边形DECF为正方形；
（2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积．
58．（2022春•宿豫区期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．
59．（2022春•江阴市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2．
（1）如图1，当DG＝2时，求证：菱形EFGH是正方形．
（2）如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．
60．（2022春•兴化市月考）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
巩固提升
一、单选题
1．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）下列说法中错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55°B．40°C．35°D．20°
3．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形
4．（2020春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）矩形的边上有一动点，连接、，以、为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
5．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题
7．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____．
8．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______．
9．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是______．
10．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个____．
11．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．
12．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在菱形中，点A的坐标为（0，5），点C的纵坐标为1，直线的表达式为，交y轴于点E，若．则菱形的面积为___________．．
13．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知一个对角线长分别为和的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．
14．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____．
16．（2023春·江苏·八年级专题练习）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是________________．
三、解答题
17．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)求证：四边形AQCP是平行四边形；
(2)若四边形AQCP是菱形，求t值．
18．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，试求的长．
19．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，矩形的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．
(1)求的值；
(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
21．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
22．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知：在中，为中线，以、为边向的形外作正方形、正方形．
(1)如图①，当时，求证：．
(2)如图②③，当时，与有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图，证明你的结论．
23．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
(3)深入研究
在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段OB的长度为______；
(2)求直线BD所对应的函数表达式；
(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
26．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
27．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
28．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
29．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
30．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，
①和的数量关系为___________．
②连接，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．