第一次月考卷（测试范围：苏科版八下第7章~第9章）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）

这是一份第一次月考卷（测试范围：苏科版八下第7章~第9章）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版），文件包含苏科版八年级下第一次月考卷原卷版docx、苏科版八年级下第一次月考卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

苏科版八年级下【第一次月考卷】考生注意：1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断选项的正确性．【详解】A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项是轴对称图形，不是中心对称图形；C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；D选项是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2．为了了解某县初二28000名学生的数学学习情况，全县组织了一次数学检测，从中抽取500名考生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（    ）A．这500名考生是总体的一个样本 B．28000名考生的全体是总体C．每位考生的数学成绩是个体 D．500名学生是样本容量【答案】C【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．【详解】解：A．这500名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；B．28000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；C．每位学生的数学成绩是个体，故本选项符合题意；D．500是样本容量，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．3．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ）A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．日行千里 D．守株待兔【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；B、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C、日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意；D、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（   ）.A．AB∥DC，AD=BC B．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCC．OA=OC，OB=OD D．AB=DC，AD=BC【答案】A【分析】根据平行四边形的判定定理即可判断.【详解】A. AB∥DC，AD=BC，一组对边平行，另一组对边相等，不能判断平行四边形； B. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确；C. OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；    D. AB=DC，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故选A.【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理.5．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角【答案】B【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可．【详解】A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意；B．矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意；C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；D．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．6．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（ ）A．测量两条对角线是否相等 B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量门框的三个角是否都是直角【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：.A.对角线相等平行四边形一定是矩形，不符合题意；B.有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，不符合题意;C.两条对角线是否互相平分只能证明是否为平行四边形，不能说明是不是是矩形，符合题意；D. 根据矩形的判定，三个角都为直角，四边形就是矩形，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的判定．熟练地掌握矩形的判定是解决问题的关键．7．如图,在菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF则∠CDF等于（   ）A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】C【分析】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的性质.【详解】解：连接BF,在菱形ABCD中,∠BAD=70°，∴∠B=110°,∠CAB=35°，∵AB的垂直平分线交对角线AC，∴AF=BF,DF=BF,∴∠FBA=∠CAB=35°，∴∠FBC=∠CDF=75°.故选C【点睛】本题的关键是运用菱形的对角线的性质得出角相等，利用菱形的性质得出三角形全等，利用垂直平分线的性质，得出线段相等.8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　）A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤【答案】D【分析】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得【详解】① 解：过点P作于G，连接PC 易证又PE⊥BC，PF⊥ CD，∴ 四边形PECF是矩形∴故 ① 正确；② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图由① 知：故② 正确；③ 解：由①② 知：故③正确；④解：∵四边形PECF是矩形∴ PF=EC在中故④错误；⑤ 解：过点P作于G，连接PC易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形∴ 故⑤ 正确；故选：D．【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键．9．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么下列说法不正确的是（　　）A．MN∥BC B．MN＝AM C．AN＝BC D．BM＝CN【答案】C【分析】根据平行四边形ABCD，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；首先证明四边形AMND是平行四边形，则BM=CN，AD=BC，再根据折叠可得AM=DA，则四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM．由以上可做出选择．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵根据折叠可得∠D=∠NMA，∴∠B=∠NMA，∴MN∥BC；故A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴DN∥AM，AD∥BC，∵MN∥BC，∴AD∥MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴BM=CN，AD=BC，根据折叠可得AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM；故B、D正确；故选C．【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是找准折叠以后哪些线段是对应相等的，哪些角是对应相等的．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为（　　）A． B． C．4 D．3【答案】A【分析】建立下图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，先证明△EDH≌△DGC，则DH=GC=2，DC=EH，设DC=t，则EH=t，点E的坐标为（-t，t+2），然后求得当t=0和t=3时点E的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求解．【详解】解：建立如图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵BC=4，点G为边BC的中点，∴GC=2．∵DEFG为正方形，∴ED=DG，∠EDG=90°．∴∠EDH+∠GDC=90°．又∵∠EDH+∠HED=90°，∴∠GDC=∠HED．在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，∴△EDH≌△DGC（AAS）．∴DH=GC=2，DC=EH．设DC=t，则EH=t，∴点E的坐标为（-t，t+2），∴点E在直线y=-x+2上运动．在Rt△ABC中，，由题意可知：0＜t≤3，当t=0时，y=2，E（0，2）当t=3时，y=5，E（-3，5）∴点E运动的路线长=．故选A．【点睛】本题考查动点的轨迹、正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数的几何应用，勾股定理，解题的关键是求得点E运动的轨迹．二、填空题11．在中，若，则________．【答案】60【分析】根据平行四边形邻角互补的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C∵∠A：∠B=1：2，∴∠A=∠C=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．12．一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．【答案】2【分析】方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．【详解】解：方法一：四边形是正方形，，，由勾股定理得，，．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为___．【答案】【分析】设对角线的交点为O，根据菱形的性质和勾股定理，计算AO=3，OB=4，根据菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半计算即可．【详解】如图，设对角线的交点为O，∵菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，∴AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD==4，∴BD=8，根据菱形的面积公式，得 AB×DE=AC×BD，∴5×DE=×6×8，∴DE=，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，熟练运用菱形的性质，面积公式，灵活运用勾股定理是解题的关键．14．如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到▱AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=_____．【答案】106°【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=32°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数.【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB=AB′，∠BAB′=32°，∴∠B=∠AB′B=（180°﹣32°）÷2=74°，∴∠C=180°﹣74°=106°．故答案为106°．【点睛】本题考查旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=74°是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则点C的坐标是_____．【答案】（8，4）【分析】过A作AE⊥x轴于点E，根据勾股定理可求出OA的长，再由菱形的性质可得AC=OA=5，即可求出点C的坐标．【详解】解：过A作AE⊥x轴于点E，∵点A的坐标是（3，4），∴OE=3，AE=4，∴，∵四边形AOBC是菱形，∴AC=OA=5，∴点C的坐标是（8，4）．故答案为：（8，4）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、菱形的性质以及勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长．16．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．【答案】##【分析】根据勾股定理列方程可求解【详解】根据折叠知， , 设 ，则 ．根据勾股定理，得： 解得， ．故答案为：【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键．17．如图，在中，过对角线上一点P作，且，则________．【答案】2【分析】根据，可得四边形为平行四边形，从而得到，同理，进而得到，即可求解．【详解】解：∵，∴四边形为平行四边形，∴，同理，∴，即．∵，∴，∴；故答案为：2．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．【答案】（1，3）或（4，3）或（9，3）【分析】根据当OP=OD时，以及当OD=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标．【详解】解：过P作PM⊥OA于M，（1）当OP=OD时，如图1所示：OP=5，CO=3，由勾股定理得：CP=4，∴P（4，3）；（2）当OD=PD时，如图2，PD=DO=5，PM=3，由勾股定理得：MD=4，∴CP= OM=5-4=1，∴P（1，3）；如图3所示：PD=DO=5，PM=3，由勾股定理得：MD=4，∴CP= OM =9，∴P（9，3）；综上，满足题意的点P的坐标为（1，3）、（4，3）、（9，3），故答案为：（1，3）或（4，3）或（9，3）．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．三、解答题19．一个口袋中有5个黑球和若干个白球若干个，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇均，重复上述过程，共实验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计袋中共有多少球？【答案】20个【分析】根据频率稳定性定理，用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，进而得到白球的概率，即可得到等式得出答案．【详解】解：设共有x个小球，解得 经检验，是所列方程的解答：共有20个小球．【点睛】本题主要考查的利用频率估计概率，得出求白球的概率公式是解题的关键．20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．（1）求∠C，∠B的度数；（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．【答案】（1）∠C＝50°，∠B＝130°；（2）EC＝3【分析】（1）先由角平分线的定义求出∠DAB＝50°，然后根据平行四边形的性质求解即可；（2）通过证明∠DAE＝∠DEA，得到DE＝AD=5，然后可求CE的值；【详解】解：（1）∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，∴∠DAB＝2∠DAE＝50°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝50°，∠B＝180°﹣50°＝130°；（2）∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AD=BC=5，CD=AB=8，∴∠BAE=∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD=5∴CE＝CD﹣DE＝8﹣5＝3，【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．21．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了　 　名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度；（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（4）用社科类百分比×2500可得．【详解】解：（1）此次共调查的人数人；（2）生活类的人数人，小说类的人数为人，补全图形，如下图：（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，故答案为：126（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300人．故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．22．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为__________．【答案】(1)见解析(2)（-3，0）(3)（2，3）(4)（-1，-2）【分析】（1）根据题意作图即可；（2）先根据点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），得到△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；（3）先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；（4）先得到，， ，，再由旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为（-1，-2）．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：∵点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，∴点B（-1，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度的对应点坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）；（3）解：如图所示，是△ABC绕原点O顺时针旋转90度后的图形，∴点A对应点的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；（4）解：如图所示，，， ，，∵旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，∴旋转中心的坐标为（-1，-2）．故答案为：（-1，-2）．【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识．23．如图，把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断三角形HBC的形状，说明理由．【答案】是等腰三角形，理由见解析．【分析】根据折叠，可以推出∠CBA'＝∠2，再根据平行线的性质，可以推出∠1＝∠CBA'，从而得到∠1＝∠2，于是可判断是等腰三角形．【详解】解：是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴CF∥BD，∴∠1＝∠CBA'，∵将长方形折叠，∴∠CBA'＝∠2，∴∠1＝∠2，∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及折叠的性质，熟练平行线的性质是解题的关键．24．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE．请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．【答案】见详解【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得DF＝DE，DC＝DB．进而即可证明四边形BECF是平行四边形．【详解】解：四边形BECF是平行四边形，理由：连接BF、CE，∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD．∵D是BC的中点，∴CD＝BD．∵∠FDC＝∠EDB，∴△CDF≌△BDE（ASA）．∴DF＝DE，DC＝DB．∴四边形BECF是平行四边形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键．25．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．(1)求证：AE＝BC；(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）通过证明四边形ABCE是平行四边形，可得结论；（2）由平行四边形的性质可求DE＝AD＝2，即可求四边形ABCE的面积．【详解】（1）证明：（1）∵ABCD，∠B＝45°∴∠C+∠B＝180°∴∠C＝135°∵DE＝DA，AD⊥CD∴∠E＝45°∵∠E+∠C＝180°∴AEBC，又ABCD∴四边形ABCE是平行四边形∴AE＝BC；（2）解：∵四边形ABCE是平行四边形， AB＝3，∴AB＝CE＝3，又CD＝1，∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2，∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．26．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF．(2)求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）只需要利用AAS证明两个三角形全等即可；（2）根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可证明结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质与判定条件．27．（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，直接写出一对全等三角形：____________________试猜想BD与CE的大小关系，直接写出结论：________________________【深入探究】（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝10cm，BC＝6cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，直接写出BD的长是_________________________．【答案】（1）△EAC≌△BAD ，BD =CE；（2）；（3）【分析】（1）证明△EAC与△BAD全等即可得证；（2）连接EC、EB，通过证明△EAC与△BAD 全等，得到BD=CE．由勾股定理可得EC的长，从而可得BD长；（3）如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，通过证明△EAC与△BAD全等，从而得BD=CE，从而求得BD长．【详解】解：（1）△EAC≌△BAD ，BD =CE，证明如下：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD  (SAS) ，∴BD=CE；（2）如图，连接EC、EB． ∵正方形ABNE和正方形ACMD∴，AE=AB  ，∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD  (SAS) ，∴BD=CE．∵AE=AB=10cm，∴，∠ABE=∠AEB=45º．又∵∠ABC=45º，∴∠ABC+∠ABE=45º+45º=90º， ∴=，∴BD=CE=；（3）如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E， ∴∠BAE=90º，又∵∠ABC=45º，∴∠E=∠ABC=45º，∴AE=AB=10cm，∴．又∵∠ACD=∠ADC=45 º，∴∠BAE= ∠DAC=90º，∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ， ∴BD=CE．∵BC=6cm，∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质、勾股定理，解题的关键是能够利用边角边证明△EAC与△BAD全等．28．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．(1)一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”)(2)如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　；(用含α的代数式表示出所有可能的结果)深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．(3)当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；填“是”或“不是”故答案为：是；（2），①当PQ是∠MPN的角平分线时，；②当PQ是∠MPN的三等分线时，∠MPQ较小时，；③当PQ是∠MPN的三等分线时，∠MPQ较大时，；故答案为：或或；深入研究：（3）依题意有：①当∠MPN=2∠QPM时，如图所示：，解得；②当∠MPN=∠QPM时，如图所示：，解得；③当2∠MPN=∠QPM时，如图所示：，解得．故当t为9或12或18时，射线PM是的“巧分线”；（4）依题意有：①当∠QPN=∠MPN时，如图所示：，解得；②当∠QPN=∠MPN时，如图所示：，解得；③当∠QPN=∠MPN时，如图所示：，解得．故当t为或4或6时，射线PQ是的“巧分线”．【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，理解“巧分线”的定义是解题的关键．