甘肃省兰州市城关区第三十五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有唯一正确答案）
1. 的相反数是（ ）
A. 6B. C. D.
2. 将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°
3. 下列运算正确的是（ ）
A. （﹣a）2＝﹣a2B. 2a2﹣a2＝2
C. a2•a＝a3D. （a﹣1）2＝a2﹣1
4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于x一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
6. 化简：（ ）
A. a﹣3B. a+3C. D.
7. 若点，，在反比例函数图象上，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点，，连接，，已知，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 0.5
10. 如图，在中，，以顶点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，延长交于点，若，，则（ ）
A. B. C. 8D. 6
11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④当时，；⑤；⑥．

A. ①②③B. ①②④⑤C. ①③④D. ①②⑥
12. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A. 78°B. 75°C. 60°D. 45°
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 把多项式分解因式结果是______．
14. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．
15. 以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为________．
16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

三、解答题（本大题共12个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 解方程：．
20. 如图：已知点A、E、F、B在一条直线上，AE=BF，CF=DE，AC=BD，求证：.
21. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量，近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入，某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
（1） _____； ______（填＞，＜号）；
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是_______；（只填序号）
①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业支出比交通运输的2倍还多．
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是______年．
22. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为的中点，过点作，与、分别相交于点、，连接、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
23. 如图，堤坝坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔，小明在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为；求坝顶B到的距离（，小明身高忽略不计，结果精确到）．
24. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
25. 因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低0.1元，则平均每天可多售3碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗降价多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
（3）在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值．
27. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为分别是M，N的对应点），若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”．如图，点．
概念理解：
（1）线段关于y轴的对称线段点坐标是______；
（2）已知图形：以线段为边的等边三角形，：以O为对角线交点且边长为2的正方形，在中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是______；
应用拓展：
（3）以O为对角线交点的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围．
28. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一
（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0903
0.902
0.904
统计量类别
平均数
中位数
方差
教育支出
522.2
m
社会保障和就业支出
448.3
466.5
交通运输支出
292.3
282.0