浙江省杭州市萧山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 二次函数的最小值为（ ）
A. B. 1C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的最值．根据二次函数的性质，直接得到函数的最小值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，函数值最小，为5；
故选C．
2. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（ ）
A. ①对②错B. ①错②对C. ①②都对D. ①②都错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，理解随机事件与必然事件的定义是解题的关键．根据可能性大小的定义解答即可．
【详解】解：四个小球分别标号为1，2，3，4，
摸出的小球标号都小于5是必然事件，故①正确；
每个标号只有一个小球，
摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误．
故选：A．
3. 已知，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得．
【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；
B、，则，选项说法错误，不符合题意；
C、，则，选项说法错误，不符合题意；
D、，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案．
【详解】解：在中，，，，
，
．
故选：B．
5. 如图，内接于，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于，三角形的内角和定理，解题的关键求得．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
6. 如图，在中，分别为上的点，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质得出，求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
7. 如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
【详解】解：在矩形中，，，
，
故选：C．
8. 如图，在矩形中，，点在边上，于点，若，则的长为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质结合已知得出，证明，由相似三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解．
【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
由图可知，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先证明，再证明，可得，进而可得，然后可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】该题考查了特殊的锐角三角函数的值的运算，知道特殊锐角的三角函数值是解决此类问题的关键；利用特殊的锐角三角函数的值解题即可．
【详解】
故答案为：1
12. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有______个．
【答案】12
【解析】
【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式求解得到黄球的个数．
【详解】解：布袋中黄球可能有个，
故答案为：．
13. 教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为______厘米（用含m的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查黄金分割的定义，掌握黄金分割的比值为是解答本题的关键．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为m厘米，
∴宽为，
故答案为：．
14. 如图，是的外角的平分线，外接圆的圆心O为的中点，延长交于点F．若，，则的周长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：∵是的外角的平分线，
∴，
∵外接圆的圆心为的中点，
∴是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长
故答案为：．
15. 已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为______．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式即可求得二次函数的值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，是二次函数的图象上两点，
∴ 关于对称轴对称，
∵，
∴，
∴，
将代入得，
，
故答案：2023．
16. 如图，在中，，，，D、E为边上两点（点D在点E的右侧），满足．则边上的高为______；设，．用含x的代数式表示______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理，熟知“角含半角”模型是解题的关键．
利用面积法可求出边上的高，旋转，利用“角含半角”模型构造出全等三角形，再借助于勾股定理即可解决问题．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
∵，
又∵，
即边上的高为．
将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为，延长交于点，连接，
由旋转可知，，
又
则．
又
则．
同理可得，．
在和中，
在中，
整理得，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）．
（1）用含x的代数式表示S；
（2）当时，求向日葵基地的面积．
【答案】（1）
（2）100平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，求二次函数值，解题的关键是求出函数解析．
（1）根据长方形面积公式求出二次函数解析式；
（2）把代入求出函数值即可．
【小问1详解】
解：设长方形的长为x米，则宽为米，则：
．
【小问2详解】
解：把代入得：
（平方米）．
答：向日葵基地的面积为100平方米．
18. 学校地下停车场有三个出口A，B，C，甲乙两位老师可以任意选择一个出口开车驶离学校，试用树状图或列表求他们从不同的出口离开的概率．
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法，列举出甲乙两位老师可以任意选择、、中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
用树状图表示甲乙两位老师可以任意选择、、中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两位教师从不同的出口离开的有6种，所以从不同的出口离开的概率为．
19. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．
（1）设的半径为r，用含r的代数式表示线段．
（2）若，求的半径．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接交于点E，根据垂径定理易得，，根据三角形中位线定理求出，由（1）知，，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：连接，

是直径，
，
，，
；
【小问2详解】
解：连接交于点E，
，
，，
又，
是的中位线，
，
，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
的半径为5．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
20. 如图，在大楼的正前方有一斜坡，长为米，坡度为，高为．在斜坡底的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，其中，在同一直线上．（参考数据：，）
（1）求斜坡的高．
（2）求大楼的高度（结果精确到米）．
【答案】20. 米；
21. 米．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法．
根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解；
设，根据正切值求边长得，再根据可求得的值，最后由即可求解．
【小问1详解】
解：斜坡的坡度是，
，即，
又在中，，
，
解得，
斜坡的高为．
【小问2详解】
解：设，
，
，
在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，
，
由得：，
，
即，
解得：，
米，
故大楼的高度为米．
21. 已知二次函数（a为常数，且）
（1）若函数图象过点，求a的值；
（2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点的坐标代入表达式求解即可；
（2）分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．
【小问1详解】
解：函数图象过点得
解得：
【小问2详解】
由可知对称轴为直线
①当时，开口方向向上，当时
当时取最小值，当时取最大值
，
解得，满足题意．
②当时，开口方向向下，当时
当时取最大值，当时取最小值
，
解得 满足题意．
综上所述：．
22. 如图，过菱形的顶点D作直线，分别交的延长线于点B，交的延长线于点C．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握相关图形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得到，，，进而可证，可得，即可证明结论；
（2）设，可知，，由（1）可得，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
设，
∵，，
∴，，
由（1）可得，
解得，即．
23. 综合与实践
问题情境：求方程的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标、为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足且，再分别算出相应的值．列表得：
操作判断：（1）求的值．
实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．
如，，得到如下数据，，，，，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少?
问题解决：（3）对于一般的二次函数，为常数的函数值变化进行如下研究：
将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．
【答案】（1）；（2）算错的值是0.04，正确的值是；（3）发现过程见解析，发现结论：与是一次函数关系
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据所给数值判断出函数值的变化规律是解此题的关键．
（1）把代入，得：，求出相应的的值，再根据函数值的变化选择合适的的值即可；
（2）作差后的前三个数据，，分别是前一个数的基础上增加，第四个不是，则猜测第五个函数值错了，设第五个函数值为，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（3）设函数值的差为，若自变量为，则和相邻的自变量为，分别求出函数值，作差即可得出，从而得出答案．
【详解】解：（1）把代入，得：，
解得：，，
二次函数的对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，
观察图表可得：随着的增大而减小，
，
；
（2）作差后的前三个数据，，分别是前一个数的基础上增加，第四个不是，
猜测第五个函数值错了，
设第五个函数值为，
，
解得：，
第五个函数值错了，应该是；
（3）设函数值的差为，
猜测：与是一次函数关系，
若自变量为，则函数值为：，
和相邻自变量为，则函数值为，
，
为常数，且，，
与是一次函数关系．
24. 如图1，在中，，，点P是内一个动点，且．
（1）试找出与相等的角，并说明理由．
（2）如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接
①求证；
②求的最小值．
（3）在如图2的条件下，若，求证：
【答案】（1），理由见解析
（2）①证明见解析；②
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据，等量代换即可得到；
（2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到，即可证明；
②连接、，由，得到，当经过圆心时，的值最小，过点作交于点，则是的中点，连接，则、、三点共线，则是的垂直平分线，再由，得到，即可求的最小值为；
（3）由题意可知点上，则，过点作交于点，设，则，分别求出，再由，即可证明．
【小问1详解】
解：∵，
【小问2详解】
①证明：∵，
②连接、，
当经过圆心时值最小，过点作交于点，
则是的中点，连接，则、、三点共线，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
【小问3详解】
证明：∵，
∴点上，
∴，
过点作交于点，
设则
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
的值
的值
1
0.71
0.44
0.19
0.04
的值
的值