江苏八年级下期中真题精选（压轴60题专练）（范围：第7章~第10章）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）

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1．（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，直角三角形中，两条直角边，，将绕着中点旋转一定角度，得到，点正好落在边上，和交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
3．（2021春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=．其中正确的结论是（）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
4．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，则下列正确的结论是有（ ）个
①平分；②是等腰三角形；③四边形是平行四边形；④
A．3B．2C．4D．1
5．（2021春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，点在对角线上任意一点，将正方形绕点逆时针旋转后，点的对应点为，则点到线段距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题
6．（2020春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与边长为4的正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，则EF的长为_____．
7．（2020春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_____．
8．（2020春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=5，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于______．
9．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，②的周长为，③；④当时，G是线段的中点，其中正确的结论是_____________．
10．（2021春·江苏南京·八年级南京玄武外国语学校校联考期中）如图，一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③P，A重合时，；④的面积S的取值范围是，其中正确的是__________．（把正确结论的序号都填上）

11．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝3，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__．
12．（2022秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
三、解答题
13．（2020春·江苏苏州·八年级统考期中）如图所示，菱形的顶点在轴上，点在点的左侧，点在轴的正半轴上.点的坐标为.动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为秒.
(1)①点的坐标 .②求菱形的面积.
(2)当时，问线段上是否存在点，使得最小，如果存在，求出 最小值;如果不存在，请说明理由.
(3)若点到的距离是1，则点运动的时间等于 .

14．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
(1)如图1－1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
(2)如图1－2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自→→→停止，点自→→→停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒5，点的速度为每秒4，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
15．（2020春·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
16．（2020春·江苏泰州·八年级校联考期中）把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．
（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接写出结论；
（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
17．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知：如图，平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，的坐标分别为，点是线段上的一个动点点与点，不重合，过点作直线交折线于点．
(1)在点运动的过程中，若的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)如图，当点在线段上时，矩形关于直线对称的图形为矩形分别交，于点，，分别交，点，求证：四边形是菱形；
(3)问题（2）中的四边形中，的长为______．
18．（2020春·江苏扬州·八年级校考期中）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出AC和DE相关的什么结论？请说明理由．
（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．
19．（2020春·江苏扬州·八年级校考期中）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．
（1）如图1，求证：BE=BF；
（2）特例感知：如图2，若DE=5，CF=3，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
（3）类比探究：如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，若DE=a，CF=b．请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．(不要求写证明过程)
20．（2020春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转°（0°＜＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．
（1）当=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，
①当=_______°时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．
21．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
22．（2020春·江苏苏州·八年级统考期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边中点依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答．
（1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形还是平行四边形吗？说明理由；
（参考小敏思考问题方法）
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接．
①当与满足什么条件时，四边形是矩形，写出结论并证明；
②当与满足____时，四边形是正方形．
23．（2020春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．
（1）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，求证：CD＝CF；
（2）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，求CF的长．
24．（2020春·江苏连云港·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知A（3，0），以OA为一边在第一象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDEF（点F在直线AB右侧）．
（1）当m＞3时（如图1），试判断线段AF与CD的数量关系，并说明理由．
（2）当AF=5时，求点E的坐标；
（3）当D点从A点向右移动4个单位，求这一过程中F点移动的路程是多少？
25．（2020春·江苏南通·八年级统考期中）如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
26．（2020春·江苏盐城·八年级统考期中）在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．
（1）求证：EO平分∠AEB；
（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为 （直接写出结果，不要写出证明过程）；
（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．
27．（2020春·江苏南通·八年级校考期中）定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．
(1)①如图1，准矩形中，，若，，则__________；
②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是_________；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
(2)如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形；
(3)已知，准矩形中，，，，当为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积．
28．（2022秋·江苏·八年级期中）（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，
①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；
②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．
29．（2020秋·江苏南通·八年级校考期中）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．
（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
30．（2021春·江苏无锡·八年级江苏省江阴市第一中学校考期中）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

31．（2021春·江苏镇江·八年级统考期中）有一张矩形纸片，其中，现将矩形折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形的边上（如图1）．
①当点P与点A重合时，__________，当点E与点A重合时，__________，当点F与C重合时，__________；
②若P为的中点时，求的长；
（2）若点P落在矩形的外部（如图2），点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M，当时，请求出线段的长度．
（3）若点E为动点，点F为边的中点，直接写出线段的最小值=__________．
32．（2021春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，正方形和正方形有公共顶点．
（1）如图1，连接和，直接写出和的关系 ；
（2）如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，连接，请直接写出的取值范围： ．
33．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图①，在矩形中，E为边上一点，，连接．动点P、Q从点A同时出发，点P以的速度沿向终点E运动；点Q以的速度沿折线向终点C运动，当P与E重合时，点P、Q同时停止运动。在运动过程中，设点Q运动的时间为，的长为，若y关于x的函数图像如图②所示.
（1）_______，________；
（2）在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段围成的图形面积为，求S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在运动过程中，当点C在线段的垂直平分线上时，则____．
34．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）（1）[方法回顾]证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，在中，、分别是、的中点．
求证：，．
证明：如图1，延长到点，使得，连接；
请继续完成证明过程：
（2）[问题解决]
如图2，在矩形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
（3）[思维拓展]
如图3，在梯形中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长为_______．
35．（2021春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在中，，对角线、相交于点O，将中直线绕点O顺时针旋转，分别交直线、于点E、F．
（1）试说明在旋转过程中，始终成立；
（2）当时，判断四边形的形状__________；
（3）在旋转的过程中（），从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形：
①当__________时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．
36．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图①，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为，
（1）点B的坐标为___________．
（2）若点P为对角线上的动点，作等腰直角三角形，使，如图②，连接，则与的关系（位置与数量关系）是，并说明理由：
（3）在（1）的条件下，点M在x轴上，在平面内是否存在点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2021春·江苏盐城·八年级统考期中）综合与实践：
如图1，已知为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，，连接DC，P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是________，的度数是________；
（2）探究证明
若把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，再连接BE，取BE的中点N，连接PN、QN．
①判断四边形PMQN的形状，并说明理由；
②求的度数；
（3）拓展延伸
当，，，把绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①四边形PMQN为_________；
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．
38．（2021春·江苏南京·八年级南京玄武外国语学校校联考期中）如图1，已知正方形，点C在BE的延长线上，点A在的延长线上，且，过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条平行线相交于点D．
（1）证明：四边形是正方形；
（2）当正方形绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线上，连接和，点Q是线段的中点，连接和，猜想线段和线段的关系，并说明理由；
（3）将正方形绕点B旋转一周时，当等于45°时，直线交于点H，探究线段、、的长度关系．
39．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）．
(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
40．（2021春·江苏镇江·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
【深入探究】
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、=、＜”）
（4）如图，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为__________；
（5）如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________．
41．（2021春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
（1）如图1，我们在探究三角形中位线和第三边的关系时，所作的辅助线为“延长到点，使，连接”，此时与在同一直线上且，又可证图中的四边形______为平行四边形，可得与的关系是______，于是推导出了“，”．
寻找图形，完成证明
（2）如图2，四边形和四边形都是菱形，是等边三角形，，连接、．求证：．
构造图形，解决问题．
（3）如图3，四边形和四边形都是正方形，连接、．直接写出与的数量关系．
42．（2021春·江苏盐城·八年级校考期中）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．
小华同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．
证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），……
请完成剩余的证明过程．
变式探究1：如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，且AD＝2DF，AB＝2AD，请探究BE与EC的数量关系，并说明理由．
变式探究2：如图3，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，∠EFC＝45°，请直接写出EF、BE、DF三条线段之间的数量关系： ．
43．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
44．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝ ．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为 ．（用含m的式子表示）
45．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为8cm，点E在边上，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿运动，设运动时间为t秒．
(1)___________；
(2)当点P在的垂直平分线上时，求t的值；
(3)当t=___________，平分，试猜想此时是否为的角平分线，并说明理由．
46．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．以为边在矩形的内部作正方形．
（1）如图，当为正方形且点在的内部，连结，求证：；
（2）经过点且把矩形面积平分的直线有______条；
（3）当时，若直线将矩形的面积分成1：3两部分，求的值．
47．（2022春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期中）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求t的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______．
48．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）如图，当时，连接，并延长交于点．则_____；
（2）当时，请画出图形并求出的长；
（3）在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由．
49．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为 °；
②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
50．（2022秋·江苏·八年级期中）【情景呈现】
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
【拓展延伸】
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．
51．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
52．（2020春·江苏无锡·八年级校考期中）如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．
（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；
（2）在旋转过程中，当点B、G、F三点在同一直线上，若AB=5，CE=3，则MF= ；
（3）在旋转过程中，当点G在对角线AC上时，连接DG、MG，请你画出图形，探究DG、MG的数量关系，并说明理由．
53．（2020春·江苏南通·八年级校考期中）如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
（1）点B的坐标为 ；
（2）若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图②，连接DE，则BP与DE的关系（位置与数量关系）是 ，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图③，在 P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE＝ °；
（4）在（1）的条件下，点 M在 x 轴上，在平面内是否存在点N，使以 B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
54．（2020春·江苏无锡·八年级校考期中）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M，N分别在AD，CD上，且∠MBN=60°，试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”？请说明理由．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，点E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD内或边上，确定一点P，使四边形ABEP为最大面积的“等邻边四边形”，若能实现，请求出最大面积；若不能实现，说明理由．
55．（2020春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）（1）如图1，长方形ABCD中分别沿AF、CE将AC两侧折叠，使点B、D分别落在AC上的G、H处，则线段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．
①若点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，设运动时间为t秒．当点P在FB上运动，而点Q在DE上运动时，若四边形APCQ是平行四边形，求此时t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），利用备用图探究，当a与b满足什么数量关系时，四边形APCQ是平行四边形．
56．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证:，从而得．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若，则正方形的边长是______．
（2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图3，正方形的边长为8，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，求的长．
（4）在（3）的条件下，的值为_______（直接写出答案）．
57．（2021春·江苏扬州·八年级校考期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①正方形 ②矩形 ③菱形，是“等距四边形”的是 ．（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长．
（3）如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和．
58．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．
（1）则BC的长为 ，∠OBC的度数为 °；
（2）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．
（4）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，请直接写出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．
59．（2021春·江苏无锡·八年级统考期中）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝9，OC＝15．
(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；
(2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的点，过作G⊥CO于点G点，交MF于T点．
①求证：TG＝AM；
②设T（x，y），探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当x＝6时，点P在直线MF上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
60．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．
(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．
③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．