最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第01讲 直线的方程（九大题型）（讲通）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第01讲 直线的方程
目录
知识点一：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1、直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
题型一：倾斜角与斜率的计算
例1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，
法二：由题意可知，（为锐角）∴，
．
故选：B．
例2．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
例3．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】经过两点的直线的斜率为，
因为直线的倾斜角大于等于小于，
故经过两点的直线的倾斜角是，
故选：D
变式1．（2023·全国·高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解析 设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，
即．
故选：A
变式2．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
，所以.
故选：C.
变式3．（2023·全国·高二课堂例题）过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】D
【解析】由斜率公式得，且直线的倾斜角是135°，
所以，即，解得．
故选：D.
变式4．（2023·高二课时练习）直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故那么直线l的斜率的取值范围为.
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为，则，∵，
∴切线的斜率，则.
故选：B
【解题方法总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】D
【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．
故答案为：D.
例5．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点，，共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】C
【解析】因为三点，，共线，
所以，
可得：，
即，解得；
故选：C
例6．（2023·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（ ）
A．1±或0B．或0
C．D．或0
【答案】A
【解析】由题意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
故选：A．
【解题方法总结】
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【解析】由已知直线恒过定点,
如图所示,若与线段相交,则,
因为,
所以.
故选:D.
例8．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，
直线与线段相交，直线的斜率或.
故选：A.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为.
而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
要使直线与线段有公共点，只需.
故选 ：C.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或或
【答案】C
【解析】直线，即，其恒过定点，
根据题意，作图如下：
数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最小值，
当直线过点时，其斜率取得最大值，
故，解得.
故选：C.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】如图，，由题可知应满足；同理，由题可知应满足.
故选：A
变式10．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，
由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置.
①经过，即直线，则；
②与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，解得，所以.
故答案为：.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图所示：
因为,，
所以，，
，
因为点是线段AB上的动点，
所以.
故答案为：
变式12．（2023·全国·高三专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
【解题方法总结】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型四：直线的方程
例10．（2023·全国·高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，
所求直线的方程为，即．
故选：A
例11．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，
则时，，时，，
由题意知，
解得或，即直线方程为或.
故选：
例12．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）
D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）
【答案】C
【解析】方程成立的条件知，
当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），
故选:C
变式13．（2023·全国·高三专题练习）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即
故选：B
变式14．（2023·全国·高三专题练习）方程表示的直线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，
故选：A.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由，，，
知直线斜率，在轴上截距为，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；
故选：C
【解题方法总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，
所以设直线方程为，因为该直线过点，
所以有，
因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，
所以有，或，
当时，，或，
当时，，此时方程为：，
当时，，此时方程为：，
当时，，
故答案为：或
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一 设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2，
故直线l：，即x＋2y－4＝0.
法二 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【解析】（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
【解析】（1）设直线，且
∵直线过点
则
当且仅当即时取等号
所以的最小值为，
直线1即.
（2）由
∴，
当且仅当即时取等号，
∴此时直线,
故的最小值为9，此时直线l的方程.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
变式20．（2023·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中）已知直线经过点，为坐标原点．
(1)若直线过点，求直线的方程，并求直线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)如果直线在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
【解析】（1）由题意得：直线斜率，直线方程为：，即；
当时，；当时，；
与两坐标轴围成的三角形面积.
（2）由题意知：直线在两坐标轴的截距不为，可设，
则，解得：，，即.
变式21．（2023·高二单元测试）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
又知，所以时等号成立，
此时l直线的方程为，
即面积最小时直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，
此时直线的方程为，即.
故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.
变式22．（2023·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）过点的动直线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点.
（Ⅰ）求(为坐标原点)的面积最小值，并求取得最小值时直线的方程.
（Ⅱ）设是的面积取得最小值时的内切圆上的动点，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设斜率为，则得.
,
由，，.
（Ⅱ）面积最小时，，
直角内切圆半径，圆心为，
内切圆方程为
设，则，其中.
,当时，，当时，
的范围是
变式23．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
变式24．（2023·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线经过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．
【解析】（1）证明：由可得：，
由 可得，所以l经过定点；
即直线l过定点,且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为，则，
可得，
所以，
令，
因为，可得，
即，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
故，所以，当且仅当时取等号，
此时，
可得，所以，
所以直线的方程为．
变式25．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点．
（1）若的面积为4，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
【解析】设，，.
（1）设，因为过点，所以，
所以，由解得，
所以直线的方程为，即；
（2），
所以，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为；
（3）依题意可知三点共线，在线段上（且与不重合），
所以
，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为．
【解题方法总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
例16．（2023·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
【答案】
【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
例17．（2023·高三课时练习）直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为 .
【答案】
【解析】直线的斜率为，其倾斜角为钝角；
直线的斜率为，其倾斜角为锐角.
设这两条直线的夹角大小为，
则
，
由于，所以.
故答案为：
例18．（2023·上海宝山·高三统考阶段练习）已知直线，则与的夹角大小是 .
【答案】
【解析】设直线与的夹角为（），
因为，
所以两直线的斜率分别为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
变式26．（2023·重庆·高考真题）曲线与在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答）
【答案】
【解析】由消元可得，，解得，
所以两曲线只有一个交点,
由可得，所以，
由可得，所以，
由直线的夹角公式可得，
由知，.
故答案为：
变式27．（2023·全国·模拟预测）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ．
【答案】3
【解析】，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，解得，
故答案为：3.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是 ．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且
由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
故答案为：．
【解题方法总结】
若直线与直线的夹角为，则.
题型七：直线过定点问题
例19．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．
【答案】13
【解析】对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
因为，则，即，
所以.
故答案为：13.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则直线过定点 .
【答案】
【解析】由实数满足，可得,
代入直线方程，可得，
联立方程组，解得，
所以直线过定点.
故答案为：.
例21．（2023·陕西咸阳·统考二模）直线恒过定点A，则A点的坐标为 ．
【答案】
【解析】直线，
令，则，则直线恒过定点.
故答案为：.
变式29．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）直的方程为，则该直线过定点 ．
【答案】
【解析】即，令得，
直线过定点，
故答案为：
变式30．（2023·上海宝山·高二统考期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【解析】因为实数、、成等差数列，所以，即，
所以直线必过点.
故答案为：
【解题方法总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
例22．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨迹方程．
【解析】设点、，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因为点在直线上，则，即，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
例23．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
例24．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.
（2）设，由，得，
又点满足，
联立得方程组，解得或.
故存在点满足条件，点的坐标为或.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程
【解析】设，则，，又，
∴，
当，且时，恒成立；当时，；
综上，M的轨迹方程为(且)或().
变式32．（2023·高二课时练习）在中，，求的平分线所在直线的方程.
【解析】设为的平分线上的任意一点.
因为，
所以边所在直线的方程为，边所在直线的方程为.
由角平分线的性质得，
所以或，
即或.
由图形可知，即，
所以不合题意，故舍去.
故的平分线所在直线的方程为.
变式33．（2023·江苏·高二假期作业）已知动点C到两个定点的距离相等，求点C的轨迹方程．
【解析】设C点坐标为由C到两个定点的距离相等，
则
两边平方，化简得，
所以点C的轨迹方程为．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
【解析】设，则，，
即，解得
即
【解题方法总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式
例25．（2023·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点，，，
因为点P为的中点，可得，，
又由，，
两式相加，可得，所以，即，
所以曲线C的方程为.
（2）根据题意，设，，
因为点为的中点，所以，解得，，
即，所以直线的方程为，整理得，
即直线的方程.
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【解析】
则直线过定点
设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
在中令，则，即
所以，
即，将其代入直线中可得
解之得
例27．（2023·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）已知直线.
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点.
（2）如图，
设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，
设点A，B的坐标分别是，，
则有，，
又A，B两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，即，
所以直线AB的方程为.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
【解析】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
变式36．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
【解析】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由题意，令，解得，
∴直线l恒过定点M（）．
（2）设所求直线l1的方程为y–=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，
则A（–，0）B（0，）．
∵AB的中点为M，∴，解得k=．
∴所求直线l1的方程为y–（x+），
即30x–33y+220=0．
所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线，使它被两直线和所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程.
【解析】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝，∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.
(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，
而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
【解题方法总结】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
1．（2004•黑龙江）已知点，，则线段的垂直平分线的方程是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】线段的中点为，，
垂直平分线的斜率，
线段的垂直平分线的方程是，
故选：．
2．（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点在线段上的一点（异于端点），这里，，，均为非零实数，设直线，分别与边，交于点，，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ．
【答案】
【解析】
由截距式可得直线，
直线，
两式相减得，
显然直线与的交点满足此方程，
又原点也满足此方程，
故为所求直线的方程．
故答案为：．
3．（2006•上海）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ．
【答案】4
【解析】
设、，，，，方程为，点代入得
，（当且仅当，时，等号成立），故三角形面积，
故答案为 4．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
2008年江苏卷第9题，5分
2006年上海卷第11题，4分
高考对直线方程的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等,特别要重视直线方程的求法.
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用