1.8 平行线的性质 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练

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专题1.8 平行线的性质（知识讲解）【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【要点梳理】要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．特别说明：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质➽➼同位（内错）相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行1．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．如图，已知，，，试证明：．解：，（已知），（______）____________（______）（______）又（已知），______（______）（______）【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．解：，（已知），∴（垂直的定义），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等），又（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行），故答案为：垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】将下列证明过程及依据补充完整．如图，在中，平分交于点D，E，F分别为，上的点，且，，求证：平分证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）．∵（已知），∴（       ）∴（等量代换），∵（已知），∴（       ）（       ）∴_____=______（等量代换），∴平分（          ）【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）．∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）∴（等量代换），∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）∴=（等量代换），∴平分（角平分线的定义）故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义．【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．【变式2】填空，将本题补充完整．如图，已知EFAD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EFAD（已知）∴∠2＝　　（　 ）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝　　（等量代换）∴ABGD（ ）∴∠BAC+　　＝180°（ ）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝　　°【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；115°【分析】由EFAD，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DGBA，根据平行线的性质可得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解． 解：∵EFAD（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴ABGD（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝115°．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．2．如图，已知，，． 求证：；求证：．【分析】（1）根据垂直得出，根据平行线的判定得出；（2）根据平行线的性质得出，由得出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可得解． （1）证明：∵，，∴，（垂直的定义），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行；（2）证明：∵，∴（两直线平行，同位角相等），又（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补）．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，已知ABCD，BC平分∠ABD交AD于点E．证明：∠1=∠3；若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠3=28°．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由ABCD可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3；（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠2，∵ABCD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3；（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=34°，∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，∵ABCD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABD=180°-124°=56°，∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠2=∠ABD=×56°=28°，∵∠1=∠3，∴∠3=28°．【点拨】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【变式2】P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，(1)补全图形；(2)猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．【答案】(1)补全图形见解析； (2)∠DPE+∠A=180°，证明见解析【分析】（1）根据题中的要求直接补全图形即可；（2）根据平行线的性质得到，，等量代换即可证得结论．（1）解：补全图形，如下图所示： （2）解：．理由如下：，，,，即．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．类型二、平行线的性质➽➼由平行线性质探索角的关系3．如图：若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：　　．学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则　　．【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；（3）由（2）中的结论计算即可； （1）解：；理由如下：如图，过点作； ∴∵∴∴∵∴（2）解：；理由如下：如图，过点作； ∵∴∴，∴（3）解：由（2）可知：∵∴∴【点拨】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，．当时，求的度数．设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）．【答案】(1)； (2)【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）过点过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，由此得到，在中，，由此即可求解． （1）解：∵，∴，即，∵，，，∴，∴．（2）解：如图所示，过点作， ∴，∵，∴，∴，∴，即，∵在中，，，∴，∴，∵，，∴．【点拨】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到．求证：，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点作，∴，∵，，∴∴，∵，∴，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．如图2，若，，求的度数；灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________．【答案】(1)240°； (2)32°【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°；（2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解．解：（1）过E点作，过F点作，如图， ∵，，，∴，，，∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°，故答案为：240°；（2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF， ∠E=∠ABE+∠CDE，∵∠E=64°，∴∠ABE+∠CDE=64°，∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∵∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，故答案为：32°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键．类型三、平行线的性质➽➼由平行线性质求角度4．（1）如图平分，，．求的度数．（2）如图已知，．求证：．【答案】（1）的度数为；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由平行线的性质即可得到结论．（2）先证明，再利用平行线的性质证明，，即可证明． 解：（1）∵平分，，∴，∵，∴；（2）证明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．举一反三：【变式1】 如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；(3)【分析】（1）只需要证明即可证明；（2）先证明得到则，再由即可证明；（3）根据平行线的性质得到，，再结合已知条件求出的度数即可得到答案．（1）证明：∵，，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴，又∵，∴；（3）解：由（2）得，∴，，又∵，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．【变式2】类型四、平行线的性质➽➼平行线性质的应用5．如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？【答案】向左拐30°【分析】过点B作，延长BC到点P．可得．从而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解． 解：过点B作，延长BC到点P．∵，，∴．∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°，∴∠ABM＝∠A＝105°．∵∠ABC＝135°，∴∠MBC＝30°又∵，∴∠NCP＝∠MBC＝30°．答：第三次应向左拐30°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD的度数．【详解】解：根据题意得，ABCD，∠ABC=63°∴∠BCD=180°-∠ABC=117°，∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行．【点拨】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．【变式2】潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，，（1）猜想和有什么关系，并进行证明；（2）求证：．【答案】（1），证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明．（2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明． 解：（1）根据题意可知，∴ （两直线平行，内错角相等）.（2）∵，∴；∵，，∴，∴（内错角相等，两直线平行）．【点拨】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．类型五、平行线的性质➽➼平行线间的距离✮✮应用6．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则．如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：_______与的面积相等；理由是：___________．【答案】（1）和，和，和；（2），同底等高的两个三角形的面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿与为例：两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论． 解：（1）有三对分别是：和，和，和，分析如下：和，两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；和，两个三角形以为底，高相等，即面积相等；和，根据和面积相等，两个三角形同时减去，得和面积相等．故答案为：和，和，和，（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：与的面积相等，分析如下：与同底，点在上移动，那么无论点移动到任何位置，点到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．举一反三：【变式1】 如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ；（2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ． 理由是： ．【答案】（1）与、与、与；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．【详解】（1）设平行线m与n之间的距离为h则和的边CP上高均为h，和的边AB上高均为h由同底等高得：与的面积相等，与的面积相等又，即与的面积相等故答案为：与、与、与；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式2】作图并写出结论：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图.过点P作PR⊥CD，垂足为R . 过点P作PQ∥CD，交AB于点Q . (3) 若∠DCB=135°，则∠PQC 度．(4)点Q到直线PR的距离是线段 的长度．【答案】答案见解析【分析】本题考查了基本作图垂线和平行线的画法，根据同旁内角互补，垂线段定理解答即可（2）如图 ∵PQ∥CD（已作），∴∠DCB+∠PQC=180°，∵∠DCB=135°，∴∠PQC=180°-135°=45°（4）因为PR⊥CD，所以点Q到直线PR的距离是线段PQ的长度【点拨】本题的关键是掌握基本作图，并能运用平行线的性质知识解决问题类型六、平行线的性质➽➼平行线性质与判定综合➽➼证明✮✮计算7．如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．求证：；若，求证：；在（2）的条件下，若，求的度数．【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 【分析】（1）已知，所以，又因为，可以得出即可判定；（2）已知，，可以得出，即可得出；（3）由（1）（2）可知，，可以得出，；可以得出，可以得出，又因为，即可求出的度数． （1）证明：，，，，；（2）证明：，，，，；（3），，，，，，，，．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，已知点E，F在直线上上，点G在线段上，与交于点H，．试判断与之间的数量关系，并说明理由．若，求的度数．【答案】(1)，理由见解析；(2)．【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行可得CEGF，根据平行线的性质等量代换可得∠FGD＝∠EFG，进而判定ABCD，即可得出∠AED＋∠D＝180°；（2）根据平行线的性质可得∠CED＝，∠DEF＝∠D＝30°，求出∠CEF，依据对顶角相等即可得到∠AEM的度数．（1）解：∠AED＋∠D＝180°；理由：∵，∴CEGF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴ABCD，∴∠AED＋∠D＝180°；（2）解：∵CEGF，，∴∠CED＝，∵∠D＝30°，ABCD，∴∠DEF＝∠D＝30°，∴∠CEF＝∠CED＋∠DEF＝70°＋30°＝100°，∴∠AEM＝∠CEF＝100°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．如图，．求的度数．【答案】【分析】 根据两直线平行，同位角相等，得出，，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等，两直线平行，得到，最后再根据两直线平行，同旁内角互补，计算即可得出答案． 解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式2】完成下面的证明：如图，点在上，，连接，平分，，于点．求证：．证明：∵，∴（_____________________）．∵，∴，即．∵平分，∴______（__________________）．∴，∴（________________________）∴__________________（________________________）．∵，∴______（______________________）．∴．【答案】两直线平行，内错角相等； ；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可． 证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等）．∵，∴，即．∵平分，∴（角平分线的定义）．∴，∴（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，内错角相等）．∵，∴（垂直的定义）．∴．故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．中考真题专练一、单选题1．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．解：由题意得∠ABC=90°，∵∠1=40°，∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，∵，∴∠2=∠3=50°，故选B．【点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．2．（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（    ）A．30° B．40° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．解：∵mn，∠1=70°，∴∠1=∠ABD=70°，∵∠ABC=30°，∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，故选：B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解． 解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线 ∵a∥b，， ，，，，．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．二、填空题4．（2022·辽宁阜新·中考真题）一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．【答案】##15度【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答． 解：如图： 由题意得： ，，，，， ，故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．【答案】##85度【分析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解． 解：岛在A岛的北偏东方向，，岛在岛的北偏西方向，，过作交于，如图所示： ，，，故答案为：．【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三、解答题6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．(1) 求的度数；(2) 平分交于点，．求证：． 【答案】(1) ；(2) 详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键