第1章 平行线 全章复习与巩固(培优篇) 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)

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专题1.22 平行线（全章复习与巩固）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（　　）A．70° B．45° C．110° D．135°2．图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（   ）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，53．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（　　）A．70° B．80° C．90° D．100°4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）A．3 B．2.5 C．2.4 D．25．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）A．50°、130° B．都是10°C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对6．如图，已知，于点，，，则的度数是（    ）A． B． C． D．7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°8．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（    ）A．70° B．180° C．110° D．80°9．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（    ）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④10．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（    ）A．16 B．24 C．30 D．40二、填空题11．如图，已知，，，则___度．12．如图，已知AD//BC，BD平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝_____．13．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东方向，在B同学的北偏西方向，那么C同学看A、B两位同学的视角______．14．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．15．如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．16．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF的度数为    _____．17．线段AB和线段CD交于点O,OE平分∠AOC,点F为线段AB上一点(不与点A和点O重合)过点F作 FG//OE,交线段CD于点G,若∠AOD=110°,则∠AFG的度数为_____°.18．如图，△ABC中，∠C90，AC5cm，CB12cm，AB13cm，将△ABC沿直线CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．三、解答题19．如图，点，分别是，上的点，，.求证：；若比大，求的度数.20．按照下列要求完成画图及相应的问题解答．（1）画直线；（2）画；（3）画线段；（4）过点画直线的垂线，垂足为点；（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，， 图中的余角是______把符合条件的角都填出来； 如果，那么根据______可得______度； 如果，求和的度数．22．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________；点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F．①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数；②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）．23．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．24．（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC ∴∠C= ． ∵EF∥AB，∴∠B= ，∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=　 　．（直接写出结论，不用写计算过程）参考答案1．C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a∥b，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C．【点拨】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．2．B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．解：，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点拨】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．3．B解：因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．4．C【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．5．C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【点拨】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．6．C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵， ， ，∴， ， ∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．7．D【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D．【点拨】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．8．C【分析】作AB∥a，先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2＝180°－∠1＋∠3，变形可得结果．解：作AB∥a，由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2＝180°－∠1＋∠3，所以，∠2－∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°．故选：C【点拨】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.解：∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正确；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正确；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正确；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=，故④正确，故选：D.【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.10．D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．【点拨】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．11．65°【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．解：过点作∥，如图：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题12．124°【分析】先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．解：∵AD//BC∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=34°∵AD//BC∴∠ADB=∠DBC=34°∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．故答案为124°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．13．【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．解：如图，作，，，，故答案为．【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．14．60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠B的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．15．【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．解：如图，过点向右作，过点向右作,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．16．45°或135°【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．解：如图1，过作，，，，，，，同理可得，由折叠可得：，，，如图2，过作，，，，，，，，由折叠可得：，，，综上所述：的度数为或，故答案为：45°或135°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数．17．35°或145°．【分析】分两种情况讨论：点F在AO上，点F在OB上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFG度数．解：如图，当点F在AO上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝35°，∵FG∥OE，∴∠OGF＝35°，∴∠AFG＝∠AOD＋∠OGF＝110°＋35°＝145°； 如图，当点F在OB上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝35°，∵FG∥OE，∴∠AFG＝∠AOE＝35°，故答案为35°或145°．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．18．【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，依题意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED的面积，∴，解得；故答案为：．【点拨】本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，解题的关键是注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．19．（1）证明见分析   （2）70°【分析】（1）根据平行线的性质得出，从而得到，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED=180°，∠A=∠BFD，得到，结合条件比大，即可求出答案．解：（1）证明：（2）解：【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．20．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析；（5）CD【分析】（1）画直线AB即可；（2）画∠BAC即可；（3）画线段BC即可；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．解：如图所示：（1）直线AB即为所求作的图形；（2）∠BAC即为所求作的图形；（3）线段BC即为所求作的图形；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．【点拨】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．21．（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.解：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；（3）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1=64°，∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．22．(1)AD∥BC，AD=BC (2)①100°；②180°-2α【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案；（2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案；②由①同理可得答案．解：∵将线段AB平移至DC，∴ADBC，AD=BC；①∵ADBC，∴∠ADG=∠DGC，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°，∵ADBC，∴∠C+∠ADC=180°，∴∠C=100°；②∵ADBC，∴∠ADG=∠DGE，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC，∴∠ADC=2α，∵ADBC，∴∠BCD+∠ADC=180°，∴∠BCD=180°-2α．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性．23．（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；故答案为：60，75；（2）当，．设当射线与射线重合时至少需要t秒，可得，解得：；答：当射线与射线重合时至少需要秒；（3）设射线转动的时间为t秒，由题意得：或或或，解得：或12或21或30．答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．【点拨】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．24．（2）∠B+∠C=360°﹣∠BEC；证明见分析；（3）20°．分析：利用平行线的性质求解.解：（1）∠CEF；∠BEF；∠BEF+∠CEF.   （2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，  ∵AB∥DC，EF∥AB，∴EF∥DC，    ∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC；  （3）∠A=20°． 【点拨】平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质定理：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.