甘肃省庆阳市镇原县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 钢架雪车是年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）依次判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：只有D选项符合题意，其余选项的均不符合题意，
故选：D．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的判定，深刻理解轴对称图形的定义是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x5+x5＝x10B. （x3y2）2＝x5y4
C. x6÷x2＝x3D. x2•x3＝x5
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同类项的法则可判断A，由积的乘方的运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由同底数幂的乘法运算可判断D，从而可得答案.
【详解】解： 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.
3. 新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 8×10﹣8B. 8×10﹣7C. 80×10﹣9D. 0.8×10﹣7
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000008＝8×10﹣8．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，方程两边同时乘以()，即可求解；掌握去分母的注意事项为不要漏乘是解题的关键.
【详解】解：方程两边同时乘以()，得：
，
故选：D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（）
A. m＋2n=1B. m-2n=1C. 2n-m=1D. n-2m=1
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，
根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，
∴CD=CE，
∵点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限，
∴CD=2n， CE= m-1．
∴m-1=2n，即m-2n=1 ．
故选B．
6. 如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质解答．
【详解】解：，，
，A正确，不符合题意；
，B正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，C正确，不符合题意；
与的关系不确定，D错误，符合题意；
故选：D．
7. 如图所示，是的平分线，垂直平分交的延长线于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形外角性质；由线段的垂直平分线性质可得，由角平分线的性质和外角性质可求解；灵活运用这些性质解题的关键．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
故选：D．
8. 如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，，两式相加，即可证明，掌握直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，，垂足为，，
，，
，
．
故选：．
9. 不论为何值，代数式的值（ ）
A. 总不小于7B. 总不小于2C. 可为任何有理数D. 可能为负数
【答案】B
【解析】
【分析】要把代数式进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围．
【详解】解：

，
∵，，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，熟练的利用完全平方公式解题是关键．
10. 为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放型单车，型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少，购买型单车的单价比购买型单车的单价少50元，则型单车每辆车的价格是多少元？设型单车每辆车的价格为元，根据题意，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，再根据型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少列出方程即可．
【详解】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，
由题意得，，
故选：A．
11. 如图，在中，于D，且，以AB为底边作等腰直角三角形ABE，连接ED、EC，延长CE交AD于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）．
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】①易证∠CBE=∠DAE，用SAS即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【详解】解：∵AD为△ABC的高线
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正确；
∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，AD=BC，DE=EC，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE，△DEC是等腰直角三角形，易证△DFC是等腰直角三角形，
故③正确，
∴DF=DC，
∵BC=BD+DC=BD+DF=AD，
故②正确；
∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识，考查了全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
12. 计算： ______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握计算法则是解题关键，根据法则直接计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
13. 三角形的三边长分别为5，，8，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
14. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分情况讨论这个的角是顶角还是底角．
【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为；
若的角是底角，则顶角是，
综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或．
故答案是：或．
15. 分解因式：a3+a2﹣a﹣1=_______________
【答案】（a﹣1）（a+1）2
【解析】
【详解】a3+a2﹣a﹣1=（a3+a2）﹣（a+1）=a2（a+1）﹣（a+1）=（a+1）（a2﹣1）=（a+1）（a+1）（a﹣1）=（a﹣1）（a+1）2．故答案为（a﹣1）（a+1）2．
16. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
【答案】m＞-7且m≠-3
【解析】
【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由，得：且x≠2，
∵关于的方程的解是正数，
∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
17. 已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.
【答案】20
【解析】
【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.
【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.
三、解答题：本题共8小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 因式分解：(1)
(2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）提公因式后再用平方差公式分解；
（2）将看作一个整体，利用完全平方公式分解，再用平方差公式.
详解】解：（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键，注意因式分解要彻底.
19. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 ；B1 ；C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【答案】（1）见解析；（2）（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；（3）6.5；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所作图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）由（1）中所作图形，得
A1 (3，2)；B1 (4，﹣3)；C1 (1，﹣1)；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5；
（4）如图所示：如图，连接B1C与y轴的交点为P， P点即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
20. 解方程．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
整理得：，
则该方程无解，
故原方程无解．
21. 如图，，，点在上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由题意易得，进而可证，然后问题可求证．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
【答案】25分钟
【解析】
【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可．
【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟．
根据题意，得．
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：走路线一到达太原机场需要25分钟．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．
23. 小明、小华、小颖三名同学解这样一个问题：
求何值时成立？
小明：因为，从分式的右边知，分式的分子和分母同时除以，只需即可，故的取值范围是；
小华：因为也不能为零，故还应加上这个条件，即的取值范围就是且；
小颖：因为，要使分子、分母约去，则必须满足，结合和，解出，即的取值范围为；
三名同学中，谁说的有道理呢？请你给出完整的解题过程．
【答案】小颖有道理，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
利用绝对值的代数意义，根据的范围化简即可验证．
【详解】解：小颖有道理，
当，且和，
即时，，
原式．
24. 如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角△ABC中，∠ACB=90°，如果，那么∠BAC=30°．
请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由.
【答案】此命题是真命题． 证明见解析.
【解析】
【分析】延长BC至点D，使得CD=BC，证AC是线段BD的垂直平分线，再证△ABD是等边三角形．得∠BAD=60°，进一步可得结论.
【详解】此命题是真命题．
证明：延长BC至点D，使得CD=BC，

∵∠ACB=90°，CD=BC
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB=AD．
∵，
∴BD=AB．
∴△ABD等边三角形．
∴∠BAD=60°．
∵
∴=30°．
【点睛】考核知识点：等边三角形.利用等边三角形的判定和性质是关键.
25. 如图，在中，，作的垂直平分线，作的平分线交直线于点连接，．
（1）用尺规画出图形保留作图痕迹；
（2）判断和的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，作线段的垂直平分线和角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点作于，作交的延长线于，证明，利用全等三角形的性质解决问题即可．
【小问1详解】
如图，直线，射线即为所求．
【小问2详解】
结论：．
理由：如图，过点作于，作交的延长线于，
则，
平分，
，
直线垂直平分，
，
和中，
，
，
，
．