2024年春季高三开学摸底考试数学(理科)试卷 全国卷版(含答案)

这是一份2024年春季高三开学摸底考试数学(理科)试卷 全国卷版(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数z满足,则在复平面上所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知集合,,则集合( )
A.B.C.D.
3．已知向量，.若a与b垂直，则a与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为( )（单位：厘米）
A.8B.9C.10D.11
5．当时，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6．已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点.若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知正项数列满足，，数列满足，记的前n项和为，则的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9．已知为定义在上的偶函数，，当时，有，则使成立的x的取值范围为( )
A.B.
C.D.
10．已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是( )
A.B.C.1D.2
11．若,,,则a,b,c的大小关系为( ).
A.B.C.D.
12．在三棱锥中,是等边三角形,,,且,点E是棱AB的中点,则平面PEC截三棱锥外接球所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若二项展开式中所有二项系数的和等于32,则在的展开式中,的系数是______.
14．在圆内随机地取一点,则该点坐标满足的概率为_____________．
15．已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为___________.
16．已知,分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆上的动点,点关于直线的对称点为M,点关于直线的对称点为N,则当最大时,的面积为____________.
三、解答题
17．在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.
（1）求角B的大小;
（2）若,,求的面积.
18．如图1所示,四边形ABCD中,,,,,,点M为AD的中点,点N为BC上一点,且,现将四边形沿翻折,使得AB与EF重合,得到如图2所示的几何体MDCNFE,其中.
（1）证明:平面FND;
（2）若点P是棱FC上一动点,当二面角的正弦值为时,试确定点P的位置.
19．全面建设社会主义现代化国家,最艰巨最繁重的任务仍然在农村,强国必先强农,农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况,随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查,并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况,现从全市农户家庭中随机抽取4户,即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为,求．（结果精确到0.001）
附：①;
②若,则,;
③．
20．已知抛物线的焦点为F,直线分别与x轴交于点M,与抛物线E交于点Q,且．
（1）求抛物线E的方程;
（2）设横坐标依次为,,的三个点A,B,C都在抛物线E上,且,若是以AC为斜边的等腰直角三角形,求的最小值．
21．函数
（1）已知在上存在零点,求实数a的取值范围;
（2）若在定义域上是单调函数,满足,证明:.
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(其中t为参数,),且直线l和曲线C交于M,N两点.
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标;
（2）在（1）的条件下,若,求直线l的普通方程.
23．已知函数
（1）若,求不等式的解集;
（2）对于任意的正实数m,n,且,若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：,
则,即,
故在复平面上所对应的点位于第三象限．
故选：C．
2．答案：B
解析：因为,,所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为a与b垂直，所以，解得，则，，设a与的夹角为，则.故选A.
4．答案：B
解析：此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面面积为，设高为h，由台体体积公式，得，即，解得.所以其高约为9厘米，故选B.
5．答案：B
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，
所以.又因为，
所以.
6．答案：D
解析：由题图知的定义域为且为偶函数，排除A；
当时，，故是奇函数，排除B；
当时，，故是奇函数，排除C.故选D.
7．答案：A
解析：由题意，不妨设点A在第一象限，由双曲线的性质可得，直线和直线关于x轴对称，所以点A和点B关于x轴对称.又，则设，，又直线的方程为，所以代入点A坐标得，解得，即点.将点A坐标代入双曲线C的方程得，化简得，解得或.又因为，所以，则双曲线C的离心率.故选A.
8．答案：B
解析：由题可得，所以数列是以4为公差，1为首项的等差数列，所以.因为，所以，所以，所以，所以，故选B.
9．答案：D
解析：令，其中，因为函数为定义在上的偶函数，所以，所以，所以函数为偶函数.
当时，，所以函数在上单调递减，且，由可得，则，所以解得或，因此，使成立的x的取值范围为.故选D.
10．答案：D
解析：由余弦函数的性质可知，当在上单调时，
，得，
则，
由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，因此只需考虑存在，使得，，则k取非负整数，且，，的取值区间是，选项中只有适合，
故选：D.
11．答案：B
解析：由题意:,,故.
又,即,所以,即,
因为,所以.
因为,故,即,
所以,所以,
所以,所以,
故选:B.
12．答案：C
解析：在三棱锥中,是等边三角形,,,
,
则,,则有,
取PB中点O,连接CO,AO,有,
因此点O是三棱锥外接球球心,球半径,如图,
因为点E是棱AB的中点,则,
等腰底边PC上的高,
的面积,取AC中点F,连接BF,PF,
则,,而,PF,平面PBF,于是平面PBF,
在中,,,
由余弦定理得,
有,的面积,
,
显然,
令点O到平面PEC的距离为d,
因此,即,解得,
令平面PEC截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r,
则有,
所以平面PEC截三棱锥外接球所得截面面积.
13．答案：
解析:因为的二项展开式中所有二项系数的和等于32,
所以,则,
则展开式的通项为(其中且),
令,解得,
所以展开式中的系数为.
故答案为:.
14．答案：
解析：要满足,则①或②,
在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆,
则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：

由图知：在圆内随机取在阴影部分,
而直线过圆心,且直线与直线相互垂直,
所以图中阴影部分的面积为圆面积的,
故点满足的概率为,
故答案为：.
15．答案：
解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则解得，或又的各项均不相等，所以则.当n为奇数时，，则单调递减，最大值为，且1；当n为偶数时，，则单调递增，最小值为，且，所以的最大值为，最小值为，所以的最大值与最小值之差为.
16．答案：/
解析：根据椭圆的方程可知,,,连接PM,PN,
则,所以当M,N,P三点共线时,|MN|的值最大
此时,.
又因,可得
在中,由余弦定理可得,,
即,解得,
.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）由利用正弦定理可得,
整理可得,
又,可得,
即,
又,所以,
由,可得;
（2）由余弦定理可得,
将,代入可得,
由三角形面积公式可得.
即的面积为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）四边形ABCD中,,,,,
M为的中点,且,
四边形ABNM为正方形,且边长为2,
题图2中,四边形EMNF是边长为2的正方形,故,
又,,∴,,
又,,平面MDCN,平面MDCN,
平面MDCN,平面MDCN,,
易知,,,
又,平面FND,平面FND,
平面FND;
（2）由（1）知平面MDCN,又,
以N为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
设,则,
,,,
设平面FND的法向量为,则,
令,令,则,,
设平面PND的法向量为,则,
令,则,,,
设二面角的所成角为,所以,
,
即,即,
解得:或(舍去),故,
故P点为靠近F的三等分点.
19．答案：（1）,
（2）①317户;②
解析：（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数
.
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
（2）①农户家庭年收入X近似服从正态分布.
因为,所以.
因为,
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.
20．答案：（1）
（2）32
解析：（1）设点,
因为点Q在抛物线E上,且,
所以,解得,
所以抛物线E的方程为,
（2）由题可设直线AB的斜率为,
因为,所以直线BC的斜率为,
因,所以,
所以,
因为,
所以,得,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以
,
因为,所以,
因为,所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以,
所以的最小值为32.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）令,则在上至少有一个零点.
的对称轴为:,
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时,在上恰有一个零点,符合题意;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,对称轴,则在是增函数,
而,,
在上必有一个零点,符合题意;
③当时,对称轴,
则在上是减函数,在是增函数,
在上至少有一个零点,
只需,则,
综上所述,a的取值范围为.
（2）解法一:,
在R上是单调函数,则,
在R上是单调递减函数,
,要证,即证,
结合在R上是减函数,所以只需证,
而,即证(*)
令
,当x=1时,等号成立,
(*)成立.命题得证.
解法二:,
在R上是单调函数,则,
在R上是单调递减函数,
,,且,
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意;
当时,,不符合题意;
,要证,即证,
结合在R上是减函数,所以只需证,
而,即证对任意成立.(*)
令,
,
令,
函数在上是增函数,则,
函数(x>1),则,
在上是增函数,则,
在上恒成立,
在(1,+∞)上是增函数,则,
(*)成立,命题得证.
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）由,将两个方程左右两边平方后相加,
可得曲线C的直角坐标方程为.
由得直线l经过的定点P的坐标为.
（2）将,代入,得,
即,设其两根为,,
则,
得,即,得,经检验,
故直线l的普通方程为:.
23．答案：（1）;
（2）
解析:（1）当时,不等式,即为不等式为,
当时,可得,解得,所以;
当时,可得成立,所以;
当时,可得的,解得,所以.
综上得不等式的解集为.
（2）因为m,n为正实数,且,
则,
当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最大值,
又因为,当时取到等号,
要使恒成立,只需,解得或,
即实数a的取值范围为