还剩13页未读，
继续阅读
2024年春季高三开学摸底考试数学(文科)试卷 全国卷版(含答案)
展开
这是一份2024年春季高三开学摸底考试数学(文科)试卷 全国卷版(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．已知函数若，则实数( )
A.-3B.-1C.1D.3
5．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )
A.
B.估计这批产品该项质量指标的众数为45
C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
6．当时，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．执行如图所示的程序框图,若输出的a的值为17,则输入的最小整数t的值为( )
A.9B.12C.14D.16
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，是的平分线，，，则的最小值是( )
A.6B.C.D.10
10．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行,中国馆建筑名为“华夏之光”,外观取型中国传统灯笼,寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱,某爱好者制作了一个中国馆的实心模型,已知模型内层底面直径为,外层底面直径为,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为( )
A.B.C.D.
11．已知抛物线的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l,与抛物线C交于M,N两点,则( )
A.4B.C.8D.16
12．已知定义在R上的奇函数满足,当时,．若函数在区间上有5个零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若曲线是双曲线,则其焦距为_____________.
14．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入白色部分的有700个点，据此可估计黑色部分的面积为______________．
15．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为______.
16．已知函数,若与的图像上分别存在点M,N,使得M,N关于直线对称,则实数m的取值范围是____________.
三、解答题
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD,且ABCD是直角梯形,,,,点E是PB的中点.
(1)证明：直线平面PAC;
(2)者直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
18．已知等差数列的前n项和为,,．正项等比数列中,,．
（1）求与的通项公式;
（2）求数列的前n项和．
19．党的二十大以来，总书记指出，要在教育“双减”中做好科学教育加法，激发青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体。某校从2022年起先后开发开设了机器人、航模、3D创意造型、地球探险等科技类校本课程.为调研学生对课程的满意度并不断改进科技教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表:
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程，并预测12月份该校全体学生中对科技课程的满意人数;
（2）10月份时，该校为进一步深化科技教育改革，了解不同性别的学生对科技课程是否满意，经调研得如下统计表:
请根据上表判断是否有的把握认为该校的学生性别与对科技课程是否满意有关?
参考公式:，.
，其中.，
20．已知函数.
（1）若,求函数在点处的切线方程;
（2）讨论的单调性.
21．已知椭圆的左,右焦点分别为,,离心率为,M为椭圆C上的一个动点,且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A,B两点,当的面积最大时,求此时直线l的方程．
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(其中t为参数,),且直线l和曲线C交于M,N两点.
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标;
（2）在（1）的条件下,若,求直线l的普通方程.
23．已知函数
（1）若,求不等式的解集;
（2）对于任意的正实数m,n,且,若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,
所以.
故选:D.
2．答案：D
解析：由已知得,所以．
故选：D.
3．答案：B
解析：命题“，”的否定为“，”.
4．答案：A
解析：由题意，得.因为，所以.当时，，无解；当时，，解得.综上可知，.故选A.
5．答案：C
解析：A项：，解得，A正确；
B项：频率最大的一组为第二组，中间值为45，所以估计这批产品该项质量指标的众数为45，B正确；
C项：由于质量指标大于60的频率之和为，所以60不是中位数，C错误；
D项：由于质量指标在的频率之和为，用频率估计概率，故从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为，D正确.故选C.
6．答案：B
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，
所以.又因为，
所以.
7．答案：C
解析：因为动点P满足，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示.
设D为AB的中点，则，所以当取最小值时，取得最小值，，所以.
8．答案：A
解析：第一次循环,,不成立;
第二次循环,,不成立;
第三次循环,.不成立;
第四次循环,,,成立,
所以,输入的最小整数t的值为9.
故选：A.
9．答案：C
解析：由得，整理得，，，当且仅当时等号成立，即的最小值为.故选C.
10．答案：C
解析：如图,该模型内层圆柱底面直径为,且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知内层圆柱的高
同理,该模型外层圆柱底面直径为,且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知外层圆柱的高
此模型的体积为
故选：C.
11．答案：C
解析：抛物线的焦点为,又直线l的斜率,
所以直线l的方程为：,设,
则,则,所以,
则.
故选：C.
12．答案：A
解析：由,,联立可得：,
即函数图象关于点对称,
由可得为周期函数,且周期为2,
的周期为2,关于点,对称,
由图象知：与在上有4个交点,其交点横坐标分别为,,,,
所以若函数在区间上有5个零点,
则,
故选：A.
13．答案：
解析：表示双曲线,则,
,,因此,,
,
故答案为：.
14．答案：9
解析：由题设可估计落入黑色部分的概率
设黑色部分面积为S，由几何概型计算公式可得
解得，故答案为:9
15．答案：
解析：设球O的外接球半径为R，则，则，
三棱柱有内切球，设内切球半径为r，故高为，
连接，的外心，，则的中点O即为球心，
内切圆半径为r，得，，
则，则，.
16．答案：
解析：因为与的图像上分别存在点M,N,使得M,N关于直线对称,
令,
则,即在上有解,
即在上有解即在上有解,
设,,则,
当时,,故在为增函数,
当时,,故在为减函数,
而,,
故在上的值域为,
故即
故答案为：.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为平而ABCD,平面ABCD,所以,
又因为,且ABCD,可得,
所以,所以
又由且PC,平面PAC,所以平面PAC.
（2）由（1）知平面PAC,所以即为直线PB与平面PAC所成角,
在直角中,可得,可得,
在直角中,可得,
所以三棱锥的体积为.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）等差数列的前n项和为,,,设公差为d
所以,解得
所以
正项等比数列中,,,设公比为q
所以,所以
解得,或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意可得，
，
由，，
可得，，
故y关于x的回归直线方程为.
令，得，据此预测12月份该校全体学生中对科技课程的满意人数为人
（2）提出假设:该校的学生性别与对科技课程是否满意无关.
则
因为，而，
故有的把握认为该校的学生性别与对科技课程是否满意有关.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析:（1）时,,定义域为,
,,
所以切线方程为:,
即.
（2）,定义域为,
则,
①当时,,在上单调递增;
②当时,当时,,在上单调递增
当时,,在上单调递减,
综上,
①当时,在上单调递增,
②当时,在上单调递增,在上单调递减.
21．答案：（1）
（2）或．
解析：（1）椭圆C的离心率为,
又点M到右焦点距离的最大值为,即,
解得,．
又由,可得．
椭圆C的方程为：．
（2）由题意,设直线l的方程为,
联立得,
设,,
则,,
,
当且仅当即时取等号．
所求直线l的方程为或．
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）由,将两个方程左右两边平方后相加,
可得曲线C的直角坐标方程为.
由得直线l经过的定点P的坐标为.
（2）将,代入,得,
即,设其两根为,,
则,
得,即,得,经检验,
故直线l的普通方程为:.
23．答案：（1）;
（2）
解析:（1）当时,不等式,即为不等式为,
当时,可得,解得,所以;
当时,可得成立,所以;
当时,可得的,解得,所以.
综上得不等式的解集为.
（2）因为m,n为正实数,且,
则,
当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最大值,
又因为,当时取到等号,
要使恒成立,只需,解得或,
即实数a的取值范围为
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．已知函数若，则实数( )
A.-3B.-1C.1D.3
5．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )
A.
B.估计这批产品该项质量指标的众数为45
C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
6．当时，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．执行如图所示的程序框图,若输出的a的值为17,则输入的最小整数t的值为( )
A.9B.12C.14D.16
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，是的平分线，，，则的最小值是( )
A.6B.C.D.10
10．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行,中国馆建筑名为“华夏之光”,外观取型中国传统灯笼,寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱,某爱好者制作了一个中国馆的实心模型,已知模型内层底面直径为,外层底面直径为,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为( )
A.B.C.D.
11．已知抛物线的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l,与抛物线C交于M,N两点,则( )
A.4B.C.8D.16
12．已知定义在R上的奇函数满足,当时,．若函数在区间上有5个零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若曲线是双曲线,则其焦距为_____________.
14．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入白色部分的有700个点，据此可估计黑色部分的面积为______________．
15．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为______.
16．已知函数,若与的图像上分别存在点M,N,使得M,N关于直线对称,则实数m的取值范围是____________.
三、解答题
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD,且ABCD是直角梯形,,,,点E是PB的中点.
(1)证明：直线平面PAC;
(2)者直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
18．已知等差数列的前n项和为,,．正项等比数列中,,．
（1）求与的通项公式;
（2）求数列的前n项和．
19．党的二十大以来，总书记指出，要在教育“双减”中做好科学教育加法，激发青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体。某校从2022年起先后开发开设了机器人、航模、3D创意造型、地球探险等科技类校本课程.为调研学生对课程的满意度并不断改进科技教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表:
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程，并预测12月份该校全体学生中对科技课程的满意人数;
（2）10月份时，该校为进一步深化科技教育改革，了解不同性别的学生对科技课程是否满意，经调研得如下统计表:
请根据上表判断是否有的把握认为该校的学生性别与对科技课程是否满意有关?
参考公式:，.
，其中.，
20．已知函数.
（1）若,求函数在点处的切线方程;
（2）讨论的单调性.
21．已知椭圆的左,右焦点分别为,,离心率为,M为椭圆C上的一个动点,且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A,B两点,当的面积最大时,求此时直线l的方程．
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(其中t为参数,),且直线l和曲线C交于M,N两点.
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标;
（2）在（1）的条件下,若,求直线l的普通方程.
23．已知函数
（1）若,求不等式的解集;
（2）对于任意的正实数m,n,且,若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,
所以.
故选:D.
2．答案：D
解析：由已知得,所以．
故选：D.
3．答案：B
解析：命题“，”的否定为“，”.
4．答案：A
解析：由题意，得.因为，所以.当时，，无解；当时，，解得.综上可知，.故选A.
5．答案：C
解析：A项：，解得，A正确；
B项：频率最大的一组为第二组，中间值为45，所以估计这批产品该项质量指标的众数为45，B正确；
C项：由于质量指标大于60的频率之和为，所以60不是中位数，C错误；
D项：由于质量指标在的频率之和为，用频率估计概率，故从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为，D正确.故选C.
6．答案：B
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，
所以.又因为，
所以.
7．答案：C
解析：因为动点P满足，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示.
设D为AB的中点，则，所以当取最小值时，取得最小值，，所以.
8．答案：A
解析：第一次循环,,不成立;
第二次循环,,不成立;
第三次循环,.不成立;
第四次循环,,,成立,
所以,输入的最小整数t的值为9.
故选：A.
9．答案：C
解析：由得，整理得，，，当且仅当时等号成立，即的最小值为.故选C.
10．答案：C
解析：如图,该模型内层圆柱底面直径为,且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知内层圆柱的高
同理,该模型外层圆柱底面直径为,且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知外层圆柱的高
此模型的体积为
故选：C.
11．答案：C
解析：抛物线的焦点为,又直线l的斜率,
所以直线l的方程为：,设,
则,则,所以,
则.
故选：C.
12．答案：A
解析：由,,联立可得：,
即函数图象关于点对称,
由可得为周期函数,且周期为2,
的周期为2,关于点,对称,
由图象知：与在上有4个交点,其交点横坐标分别为,,,,
所以若函数在区间上有5个零点,
则,
故选：A.
13．答案：
解析：表示双曲线,则,
,,因此,,
,
故答案为：.
14．答案：9
解析：由题设可估计落入黑色部分的概率
设黑色部分面积为S，由几何概型计算公式可得
解得，故答案为:9
15．答案：
解析：设球O的外接球半径为R，则，则，
三棱柱有内切球，设内切球半径为r，故高为，
连接，的外心，，则的中点O即为球心，
内切圆半径为r，得，，
则，则，.
16．答案：
解析：因为与的图像上分别存在点M,N,使得M,N关于直线对称,
令,
则,即在上有解,
即在上有解即在上有解,
设,,则,
当时,,故在为增函数,
当时,,故在为减函数,
而,,
故在上的值域为,
故即
故答案为：.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为平而ABCD,平面ABCD,所以,
又因为,且ABCD,可得,
所以,所以
又由且PC,平面PAC,所以平面PAC.
（2）由（1）知平面PAC,所以即为直线PB与平面PAC所成角,
在直角中,可得,可得,
在直角中,可得,
所以三棱锥的体积为.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）等差数列的前n项和为,,,设公差为d
所以,解得
所以
正项等比数列中,,,设公比为q
所以,所以
解得,或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意可得，
，
由，，
可得，，
故y关于x的回归直线方程为.
令，得，据此预测12月份该校全体学生中对科技课程的满意人数为人
（2）提出假设:该校的学生性别与对科技课程是否满意无关.
则
因为，而，
故有的把握认为该校的学生性别与对科技课程是否满意有关.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析:（1）时,,定义域为,
,,
所以切线方程为:,
即.
（2）,定义域为,
则,
①当时,,在上单调递增;
②当时,当时,,在上单调递增
当时,,在上单调递减,
综上,
①当时,在上单调递增,
②当时,在上单调递增,在上单调递减.
21．答案：（1）
（2）或．
解析：（1）椭圆C的离心率为,
又点M到右焦点距离的最大值为,即,
解得,．
又由,可得．
椭圆C的方程为：．
（2）由题意,设直线l的方程为,
联立得,
设,,
则,,
,
当且仅当即时取等号．
所求直线l的方程为或．
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）由,将两个方程左右两边平方后相加,
可得曲线C的直角坐标方程为.
由得直线l经过的定点P的坐标为.
（2）将,代入,得,
即,设其两根为,,
则,
得,即,得,经检验,
故直线l的普通方程为:.
23．答案：（1）;
（2）
解析:（1）当时,不等式,即为不等式为,
当时,可得,解得,所以;
当时,可得成立,所以;
当时,可得的,解得,所以.
综上得不等式的解集为.
（2）因为m,n为正实数,且,
则,
当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最大值,
又因为,当时取到等号,
要使恒成立,只需,解得或,
即实数a的取值范围为
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
相关试卷
2024年春季高三开学摸底考试数学试卷 新高考新结构版(含答案)： 这是一份2024年春季高三开学摸底考试数学试卷 新高考新结构版(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（文科）02（全国通用）： 这是一份【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（文科）02（全国通用），文件包含新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科02全国通用全解全析docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科02全国通用A4考试版docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科02全国通用参考答案docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科02全国通用A3考试版docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科02全国通用答题卡docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（文科）01（全国通用）： 这是一份【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（文科）01（全国通用），文件包含新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科全国通用解析版docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科全国通用答案及评分标准docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科全国通用考试版docx、新高三摸底2024届新高三-数学开学摸底考试卷文科全国通用答题卡docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
