2021-2022学年福建省石狮市区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省石狮市区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
【详解】由题意得：x+1≥0，
解得：x≥-1，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 若，则的值为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴=．
故选C．
【点睛】本题考查比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
3. 如图，在中，，则的长（ ）
A. 4B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
分析】根据平行线截线段成比例即可解答．
【详解】∵，
∴，即，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例．正确的列出比例式是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. +=B. =2
C. •=D. ÷=2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意；
C.原式==，所以C选项错误，不符合题意；
D.原式==2，所以D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵EF=2，
∴OB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的判定定理及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
7. 若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
8. 如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是( )
AF=FC；B. GF=BG；
C. AG=2GD ；D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形重心的定义与性质逐项分析即可.
【详解】A.∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴BF是的中线，
∴AF=FC，故A正确；
B. ∵点G是△ABC的重心，
∴2GF=BG，故B错误；
C. ∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD ，故C正确；
D. ∵点G是△ABC的重心，
∴，故D正确.
故选B.
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
9. 如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点和和交于，为（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接格点MN、DM，可得MN//EC，由平行线的性质得出∠DNM=∠CPN，证出∠DMN=90°，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC//MN，∠DMA=∠NMB=45°，DM=AD=，MN=BM=，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=180°-∠DMA-∠NMB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，找出与∠CPN相等的角是解题关键．
10. 如图，在中，，点D是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设DE与AC交于点F，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得DA＝DB，从而证明∠ADE＝∠DAB，得到AB∥DE，，进而得到DE是AC的垂直平分线，然后可得ED＝EC，最后证明△DCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：设DE与AC交于点F，
∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴AB∥DE，
∴∠BAC＝∠DFC＝90°，
∵DA＝DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵EA＝ED，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∴∠DAB＝∠ECD，
∴△DCE∽△BAD，
∴，
∵∠BAC＝90°，csB＝，
∴，
∴＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为
【点睛】考核知识点：二次根式减法.合并同类二次根式是关键.
12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______（精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种苹果树苗移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即概率．
13. 实数的整数部分____________．
【答案】
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出无理数的整数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
14. 如图，某河堤迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【详解】解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案为:．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握坡比的意义是解答本题的关键．
15. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】先解方程，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．
详解】解：∵，
∴（x−6）（x−8）＝0，
∴x＝6或8；
∴两直角边为6和8，
∴此三角形的斜边长＝＝10，
故答案是：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．
16. 如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，有以下五个结论：
①；②；③；④若，则，你认为其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，BE2＝BH•BD，设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断．
【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴选项②正确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH•BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故④错误，
综上所述：①②③正确，
故答案是：①②③．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则得出答案．
【详解】解：原式＝＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质，正确化简各数是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：原方程变形得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
19. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在上取一个点D，使得；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，
（2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明即可．
【小问1详解】
如图，点即为所求
【小问2详解】
连接，
由（1）可知
．
又
即
【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. “疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件．设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，可售出商品____________件（用含x的代数式表示）；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设每件商品降价x元,根据题意“商品单价每下降1元，则可多售出20件”，列出代数式即可，
（2）根据总利润达到28000元，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每件商品降价x元,每件商品降价x元后，则可多售出20件,则可售出商品，
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）可知可售出商品，依题意得，
，
解得，
根据尽快清仓，则
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果是方程的两个解，令，求w的最大值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【小问1详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0有实数根，
∴Δ＝b2−4ac＝（−3）2−4×1×（k＋1）≥0，
解得：k≤，
∴k的取值范围为k≤；
【小问2详解】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0的两个解，
∴x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1．
∴w＝x1x22＋x12x2＋k＝x1x2（x1＋x2）＋k＝3（k＋1）＋k＝4k＋3，
∴k＝时，w的最大值为4×＋3＝5＋3＝8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
22. 如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
（1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？
（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）A楼落在B楼上的影子有14m．（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米．
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出CE的长，进而得出答案；
（2）可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用锐角三角函数关系求解．
【详解】解：（1）如图，过D作DE⊥CG于E， ED=16，∠CDE=30°，
∴CE=DE•tan30°=16×=16（m），
故DF=EG=CG-CE=30-16=14（m），
答：A楼落在B楼上的影子有14m．
（2）延长CD交GF于点H，
当A楼的影子刚好不落在B楼上，
则GH===30（m），
答：如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
23. 为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数据统计：
记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如下表（m为正数）：
（1）求这24个数据的中位数；
（2）从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；
（3）记“这24个零件中一级零件不到20%”为事件A．求事件A必然成立的m的取值范围．
【答案】（1）109.0
（2）

（3）m＜0.3
【解析】
【分析】（1）这根据中位数的定义即可得到结论；
（2）由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，根据概率公式即可得到结论；
（3）根据已知条件得到一级零件的个数最多是4个，得到这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．根据事件A必然成立，确定m