2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解．
【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意；
B、不是二次函数，故不符合题意；
C、是二次函数，故符合题意；
D、化简得，不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
3. 若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（ ）
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的抛物线是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将各项一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式情况即得．
【详解】A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意；
D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根．
6. 《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作．则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设增长率为x，由题意得等量关系：第二天的票房收入×(1+增长率)2＝第四天的票房收入，然后列出方程即可．
【详解】解：设增长率为x，由题意得：
4.1（1＋x）2＝4.7，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
7. 当时，与的图象大致可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数和一次函数的图象特点即可求解．
【详解】解：A：由一次函数的图象可知：，不符合题意；
B：由一次函数的图象可知：，不符合题意；
C：由一次函数的图象可知：，不符合题意；
D：由二次函数的图象可知：由一次函数的图象可知：，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象的综合判断．熟记结论是解题关键．
8. 二次函数的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】A．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y轴右侧，则 >0，所以b>0，故A错误；
B．抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c<0，故B错误；
C．抛物线与x轴一个交点为（1，0），则x=1时，，故C正确；
D．抛物线与x轴有两个交点，则，故D错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键.
9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
则：，
即：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．
10. 已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则，，，的最值情况是（ ）
A. 最小，最大B. 最小，最大
C. 最小，最大D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】设出抛物线的解析式，再把四点的坐标代入，解不等式后确定字母的取值范围，即可判断大小关系，从而知道哪个最小，哪个最大．
【详解】解：∵一条抛物线过，，，四点，
设抛物线的解析式为（a≠0），
∴，
，
，
，
∵，
∴a+b+c∴b<0,
∴＞,
∴,
∴最小，最大.
故选B.
【点睛】此题考查了二次函数的最值问题，涉及到解不等式，解不等式后确定字母的取值范围是解题关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 方程x2＝4的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接运用开平方法解答即可．
【详解】解：∵x2＝4
∴x＝=．
故答案为x=．
【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．
12. 二次函数的对称轴是______．
【答案】直线
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式直接可得答案．
【详解】解：二次函数
其对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线顶点式．
13. 已知方程有一个根是m，则代数的值为_______．
【答案】2021
【解析】
【分析】根据方程根的定义求得，然后对变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵方程有一个根是m
∴
∴==-4+2025=2021．
故填2021．
【点睛】本题主要考查了方程的根以及代数式求值，掌握方程的根的定义以及整体思想成为解答本题的关键．
14. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】因为在四个角同时剪去的小正方形边长是x cm，所以长方形的长与宽同时缩短2xm由此列车出方程即可．
【详解】解：∵剪去小正方形的边长是x cm，
∴长方体盒子底面的长为：，底面的宽为：，
则根据面积公式可列方程：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列方程解决几何问题，能够熟练地根据几何图形找出等量关系是解决本题的关键．
15. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的非零根为_____．
【答案】x＝－2
【解析】
【分析】由图可知y=ax2+bx可以看作是函数y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+3=0的根是x1=-3，x2=1，对称轴是直线x=-1，
又∵将抛物线y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y=ax2+bx，
∴抛物线y=ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（-2，0）．
∴关于x的方程ax2+bx=0的非零根为x= -2．
故答案是：x= -2．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．
16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤即可；
（2）先提取公因式，把方程化为的形式，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
或，
．
【点睛】本题考查是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．
18. 已知：关于x的一元二次方程x2+4x﹣m2=0
（1）若方程有一个根是1，求m的值；
（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1) ± ；(2) 证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将x=1代入原方程，即可；
（2）计算△的值，并判断其正负来证明.
【详解】（1）将x=1代入原方程，得1+4﹣m2=0，即m2=5，
解得：m=±．
（2）△=42﹣4×1×（﹣m2）=4m2+16．
∵m2≥0，
∴4m2+16＞0，即△＞0，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
19. 梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠年有万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，年达到万亩．
（1）求这两年的平均增长率，
（2）估计年该沙漠梭梭树的面积．
【答案】（1）
（2）万亩
【解析】
【分析】（1）根据题意可得等量关系：年的梭梭树的亩面积乘以（1增长率）的平方等于年的梭梭树的亩面积，根据等量关系列出方程即可算出增长率，
（2）由（1）中的增长率可算出年该沙漠梭梭树的面积．
【小问1详解】
解：设这两年的年平均增长率为，根据题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这两年的增长率为．
【小问2详解】
解：由（1）可估计年该沙漠梭梭树的面积为：
（万亩），
答：估计年该沙漠梭梭树面积为万亩．
【点睛】本题考查了一元二次方程实际问题（增长率问题），解题的关键是掌握平均增长率的方法，若设变化前的量为，变化后的量化为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
20. 对于抛物线．
（1）顶点坐标为______
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）首先根据抛物线求出5个点的坐标，然后用平滑的曲线连起来即可；
（3）根据（2）中画出的图象求解即可．
【小问1详解】
解：，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将，，，，分别代入，得，，，，，
列表：
描点、连线，如图，
【小问3详解】
解：由（2）中的函数图象知，
当时，则y的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的画法，熟练掌握二次函数图象特征是解题关键．
21. 如图，二次函数的图象过，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积．
【答案】（1）这个二次函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）把，代入得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得的面积即可．
【小问1详解】
把，代入，
得：，
解得．
故这个二次函数的解析式为．
【小问2详解】
∵该抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴、三角形的面积等知识， 求出二次函数解析式是解题的关键．
22. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．

（1）若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？
（2）养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可；
（2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的边长为．
由题意可得：，
解得，，
当时，，不合题意，舍去．
当时，．
．
答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为；
【小问2详解】
鸡场的面积不能达到．理由如下：
，
整理得：．
，
此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
23. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
【解析】
【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．
详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（50﹣x）（40+2x）=2400，
解得：x1=10，x2=20，
因为尽量减少库存，x1=10舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设每天盈利为W元，则
W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450，
当x=15时，W最大为2450．
答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
24. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
【答案】（1）①见解析；②；；③成功，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可；
（2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可．
【小问1详解】
解：①如图，即为所求；

②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是；
设y与x满足的函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴y与x满足的函数解析式为；
③成功，理由如下：
当时，，
解得：或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
【小问2详解】
解：把点代入得：
，
解得：，
∴此时y与x满足的函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
25. 已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）的面积为定值，其面积为2
【解析】
【分析】（1）将代入，即可解得；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【小问1详解】
解：因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：

设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
【小问3详解】
解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．

如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…
水平距离x/m
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/m
…