期中模拟试卷01（能力提升卷，七下苏科第1-3章）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4＝5cm，9+4＝13cm．
∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．a3﹣a＝2aB．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．2a﹣1＝
【分析】根据合并同类项、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则逐一进行计算即可．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，错误；
B、是同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加，所以a2•a3＝a5，错误；
C、正确；
D、2a﹣1＝2•＝，故错误．
故选：C．
【点睛】（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
（2）同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
3．如图是一段台阶的截面示意图（AH≠GH），若要沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G铺上地毯（每个台阶的宽度和高度均不同），已知图中所有拐角均为直角．须知地毯的长度，至少需要测量（ ）
A．2次B．3次C．4次D．6次
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，据此判断即可．
【解答】解：测出a的值即为所有台阶的高的和，
测出b的值，即为所有台阶的宽的和，
测两次即可．
故选A．
故选：A．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象，此题的本质可理解为将台阶的长向下平移至b，将台阶的高向左平移至a．
4．关于x的二次三项式4x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．﹣12B．±12C．±6D．6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵关于x的二次三项式4x2﹣kx+9＝（2x）2±2•2x•3+32＝（2x）2±12x+32，是一个完全平方式，
∴k＝±12，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
5．如图，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AD∥BCB．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若∠2＝∠C，则AE∥CDD．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°
【分析】由平行线的性质和判定解答即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，原结论正确，故此选项不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，但无法得到∠B与∠2的关系，原结论不一定正确，故此选项符合题意；
C、∵∠2＝∠C，
∴AE∥CD，原结论正确，故此选项不符合题意；
D、∵AE∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，原结论正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意它们之间的区别．
6．现有7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝2bB．a＝3bC．a＝3.5bD．a＝4b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答】解：法1：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
法2：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为x，左上阴影增加的是3bx，右下阴影增加的是ax，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bx＝ax，
∴a＝3b．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共10小题）
7．＝ x2y3 ．
【分析】根据单项式与单项式相乘的运算法则：把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．
【解答】解：＝（2×）•（xy2•xy）＝x2y3，
故答案为x2y3．
【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，此题难度一般．
8．据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为 1.25×10﹣7 米．（1纳米＝10﹣9米）
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．
故答案为：1.25×10﹣7．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的内角和为 540° ，边数是 5 ．
【分析】由多边形的外角和为360°，即可得出多边形内角和，根据多边形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
该多边形的内角和为900°﹣360°＝540°，
设多边形的边数为n，
（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5．
故答案为：540°，5．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形内角和外角和定理进行求解是解决本题的关键．
10．若2m＝3，23n＝64，则2m+2n＝ 48 ．
【分析】首先根据23n＝64，求出2n的值是多少；然后根据积的乘方的运算方法，求出2m+2n的值是多少即可．
【解答】解：∵23n＝64，
∴2n＝4，
∴2m+2n＝2m•22n＝3×16＝48．
故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
11．如图，将三角形ABC沿射线BF方向平移到三角形DEF的位置，BC＝10厘米，EC＝7厘米，则平移距离为 3 厘米．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的想着想着可知，平移的距离BE＝BC﹣EC＝10﹣7＝3（cm），
故答案为：3．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质，属于中考基础题．
12．把一张长方形的纸按上图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′处，若∠OGC＝50°，则∠CGD'的度数为 80° ．
【分析】折叠往往会有角相等和边相等，然后根据平行，内错角相等，求出∠CGD'的值．
【解答】解：由题意可知，
∠OGC＝∠BOG＝∠B′OG＝50°，B′O∥D′G，
∴∠OBG＝∠CGD′＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查平行线的性质和折叠的相关知识点，熟练运用平行线的性质是关键，方法不唯一．
13．如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．
③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．
故答案为①②．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点O，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 10 ．
【分析】由三角形的中线得S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE，即可得出结论．
【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC的中线，
∴S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE，
∴阴影部分面积之和＝S△BOF+S△COD+S△AOE＝S△ABC＝×20＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键．
15．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 11 ．
【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
∵b﹣a+1＝2，
∴b﹣5+1＝2，
∴b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故答案为：11．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．
16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；则∠A2＝ …；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022＝ ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1，…从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠An即可．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A＝α，
∠A2＝∠A1＝∠A＝，…，
以此类推，∠An＝∠A＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
17．计算：
（1）（﹣3）0+（）﹣2+（﹣2）3；
（2）（﹣2a3）2•3a3+6a12÷（﹣2a3）；
（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）2．
【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，再计算加减可得；
（2）先计算乘方，再计算乘法，最后合并即可得；
（3）先利用多项式乘多项式、完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式＝1+9﹣8＝2；
（2）原式＝4a6•3a3﹣3a9＝9a9；
（3）原式＝x2﹣2x+x﹣2﹣（x2﹣4x+4）
＝x2﹣2x+x﹣2﹣x2+4x﹣4
＝3x﹣6．
【点睛】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算法则及整式的混合运算顺序和运算法则．
18．因式分解：
（1）﹣3ma2+12ma﹣12m；
（2）n2（m﹣2）+4（2﹣m）．
【分析】（1）首先提取公因式﹣3m，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式（m﹣2），进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）
＝﹣3m（a﹣2）2；
（2）原式＝（m﹣2）（n2﹣4）
＝（m﹣2）（n+2）（n﹣2）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
19．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）+5x2]÷（﹣2y），其中x＝﹣，y＝1．
【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣9x2+y2+5x2）÷（﹣2y）
＝（2y2﹣4xy）÷（﹣2y）
＝﹣y+2x，
当x＝，y＝1时，
原式＝﹣1+2×（）
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知直角三角形ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣5，4），将△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位后得到△A1B1C1．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）若点P在x轴上，且△A1B1P与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据网格即可写出点C的坐标；
（2）根据平移过程即可画出△A1B1C1；
（3）根据点P在x轴上，且△A1B1P与△ABC的面积相等，即可写出点P的坐标．
【解答】解：（1）观察网格可得：
点C的坐标（﹣5，1）；
（2）如图△A1B1C1为所画图形；
（3）∵点P在x轴上，且△A1B1P与△ABC的面积相等，
∴P（﹣2，0）或P（4，0）．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
21．如图，已知直线EF∥AB，点C在直线EF上，点D在直线AB上，CB平分∠DCF，AC⊥BC．
（1）求证：∠BCD＝∠CBD；
（2）若∠ACE比∠BCF的2倍少18°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质及角的平分线定义求解即可；
（2）根据平行线的性质及垂直定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠BCF＝∠CBD，
∵CB平分∠DCF，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠BCD＝∠CBD；
（2）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵∠ACE＝2∠BCF﹣18°，
∴∠BCF＝36°，
∴∠ACE＝54°，
∵EF∥AB，
∴∠CAD＝∠ACE＝54°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及角平分线定义是解题的关键．
22．如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．
（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝ （n﹣m） °（直接用m、n表示）．
【分析】（1）根据∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，求出∠EAC，∠DAC即可．
（2）计算方法同上．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝35°﹣15°＝20°．
（2）∵∠B＝m°，∠C＝n°，
∴∠BAC＝180°﹣m°﹣n°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝90°﹣（m）°﹣（n）°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣n°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（n﹣m）°，
故答案为（n﹣m）．
【点睛】本题考查三角形内角和定理角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝55°；
（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质，角平分线定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
24．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数．
【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；
（2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解．
【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝30°，
∴∠A+∠C＝150°，
设最小的角为x，
①当30°＝3x时，x＝10°，
②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5，
③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°，
答：△ABC中最小内角为10°或30°．
【点睛】本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理，理解“三倍角三角形”定义，并能运用是本题的关键．
25．如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是 7 ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式： （3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2 ；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
【分析】（1）一方面中间部分是边长为a﹣b的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面中间部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积，最后由两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的等式，并将已知等式代入可解答；
（3）大长方形的面积等于它的长乘以它的宽．同时，它的面积还等于3个小正方形与1个大正方形和4个小长方形的面积之和．这样就可以得出所求的等式；
（4）根据已知可得：x+y＝8，x﹣y＝2，解方程组可得x和y的值，最后根据三角形的面积和可得结论．
【解答】解：（1）方法一：中间部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，
方法二：中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab；
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝16﹣4×
＝7，
故答案为：7；
（3）分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：
（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，
故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；
（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，
∴x﹣y＝2①，
∴x2﹣2xy+y2＝4，
∴34﹣2xy＝4，
∴xy＝15，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，
∴x+y＝8②，
①+②得：x＝5，
∴y＝3，
图中阴影部分面积和＝S△DFC+S△BEF＝•x（x﹣y）+•y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
26．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
27．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是 100° ；
（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
【分析】（1）延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，根据三角形的外角定理得∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，求得∠BCD+∠DAH，再根据角平分线定义求得∠BCE+∠BAE，再根据三角形的外角定理得∠AEC＝∠ABC+∠BAE+∠BCE便可；
（2）过点C作射线AG，根据三角形的外角性质得∠BCD＝α+β+∠BAD，再由∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，得∠BCE＝，根据三角形外角性质得∠BFE＝α+∠BAD，进而得∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝；
（3）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣α﹣β，由角平分线定义得∠BAD＝∠CAD＝90°﹣，由三角形外角定理得∠EDF＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+β，根据直角三角形两锐角互余定理得∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），进而便可求得结果．
【解答】解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，
∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，
∴∠DAH+∠AHD＝140°，
∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCD+∠DAH＝80°，
∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，
∴∠BCE+∠BAE＝40°，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，
∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°；
（2）过点C作射线AG，如图，
∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，
∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，
∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，
∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，
∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；
（3）的值不变，恒为．理由如下：
∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，
∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，
∵EF⊥BC，
∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），
∴＝，
故的值不变，恒为．
【点睛】此题为几何变换综合题，考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、垂直的性质以及角平分线的定义，熟练掌握、平行线的性质、三角形外角性质及角平分线的性质、等量代换是解决问题的关键．