专题3.2 整式的乘法-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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【知识点1 整式的乘法】
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37B．13C．20D．36
【变式1-1】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）
A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55
【变式1-2】若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．
【变式1-3】在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．
（1）分别求m，n的值．
（2）求m2020n2021的值．
【变式2-1】若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．
【变式2-2】已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【变式2-3】【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【题型3 整式乘法的计算】
【例3】计算：
（1）-12x2y⋅13x3y2-34x2y+16 （2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）

【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：
（1）2x2y（x-12y+1）； （2）（x﹣2y）（y﹣x）．
【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．
【题型4 整式乘法的应用】
【例4】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．
【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．
（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；
（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？
【变式4-2】（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
【变式4-3】已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
【知识点2 整式的除法】
【题型5 整式除法的应用】
【例5】一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）
A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4
【变式5-1】计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）
A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5
C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1
【变式5-2】已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．
【变式5-3】若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝
．
【题型6 整式乘法中的规律探究】
【例6】观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
（1）分解因式：x5﹣1＝ ；
（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．
【变式6-1】探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【变式6-2】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【变式6-3】探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除． 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．