专题3.3 乘法公式-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【变式1-1】下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【变式1-2】下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
【变式1-3】下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（-13a-1）
【题型2 完全平方公式（求系数的值）】
【例2】若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
【变式2-1】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【变式2-2】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ．
【变式2-3】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ．
【题型3 完全平方公式的几何背景】
【例3】有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【变式3-1】用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【变式3-2】现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【变式3-3】有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式4-1】如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【变式4-2】如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式4-3】如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．
【题型5 乘法公式（求代数式的值）】
【例5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值； （2）求x2﹣xy+y2的值．
【变式5-1】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ．
【变式5-2】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ．
【变式5-3】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab； （2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
【题型6 乘法公式的综合运算】
【例6】实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【变式6-1】【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24-(a-b)24=(a+b2)2-(a-b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2-(51-492)2=502-12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102-982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
【变式6-2】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2-(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-3】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．