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湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题（Word版附解析）
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这是一份湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题（Word版附解析），文件包含湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题原卷版docx、湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
2. 设复数（，且），满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在展开式中系数为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知四面体中，为中点，为中点，为平面内任一直线，则“直线与直线异面”是“与直线相交”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
6. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列、C系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆：，为圆上任意一点，，则（ ）
A.
B. 直线：过点，则到直线的距离为
C.
D. 圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为
10. 若随机变量，的密度函数为，则（ ）
A. 的密度曲线与轴只有一个交点
B. 的密度曲线关于对称
C.
D. 若，则
11. 已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若集合，集合，则______．
13. 函数（，）图象如图所示，与轴的交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则的值为______．
14. 在首项为1的数列中，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在点处切线与直线相互垂直．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
16. 近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的统计数据如下表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．
18. 如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，若，求的范围.
19. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．
（1）求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；从某天开始连续的营业天数x
10
20
30
40
50
新能源汽车销售总量y/辆
62
68
75
81
89
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
2. 设复数（，且），满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在展开式中系数为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知四面体中，为中点，为中点，为平面内任一直线，则“直线与直线异面”是“与直线相交”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
6. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列、C系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆：，为圆上任意一点，，则（ ）
A.
B. 直线：过点，则到直线的距离为
C.
D. 圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为
10. 若随机变量，的密度函数为，则（ ）
A. 的密度曲线与轴只有一个交点
B. 的密度曲线关于对称
C.
D. 若，则
11. 已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若集合，集合，则______．
13. 函数（，）图象如图所示，与轴的交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则的值为______．
14. 在首项为1的数列中，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在点处切线与直线相互垂直．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
16. 近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的统计数据如下表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．
18. 如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，若，求的范围.
19. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．
（1）求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；从某天开始连续的营业天数x
10
20
30
40
50
新能源汽车销售总量y/辆
62
68
75
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