湖南省长沙市重点中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市重点中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟．
一、单选题（共10小题，每小题2分．共20分）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A．诚B．信C．友D．善
2．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，3B．2，3，4C．6，8，9D．5，12，13
6．已知：，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3B．5，－3C．－5，3D．－5，－3
7．若，则的值为（ ）
A．20B．25C．30D．35
8．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（ ）
Α．B．C．D．
9．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知在等边中，，，若点P在线段AD上运动，当有最小值时，最小值为（ ）
A．B．C．10D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．点A（－3，2）关于轴对称的点的坐标是_______．
12．数0．0000046用科学记数法表示为：_______．
13．分解因式：_______．
14．若，则xy＝_______．
15．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为_______m．
16．如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是_______．
三、解答题（共9小题．17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24，25每题10分，共72分）
17．计算：．
18．先化简．再求值：，其中
19．解方程：．
20．某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成如图不完整的统计图。
（1）此次调查的样本容量为______，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为______；
（2）补全条形图；
（3）请估计该校3000名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数。
21．如图．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：
（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．
22．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同。
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
23．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在边AB上，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F在AC边上，连接EF，使∠FED＝∠B，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作，交边AC于G，点G是AF中点，求证：△ADG是等边三角形．
24．若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”。例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组－、、构成“和谐三数组”
（1）下列三组数构成“和谐三数组”的有______；（填序号）
①1、2、3；②1、、；③、、．
（2）若、、构成“和谐三数组”，求实数的值；
（3）若非零实数、、构成“和谐三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立。求实数的取值范围．
25．如图，在△ABC中，，AB＝5，BC＝3，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB，求出此时的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求的值；
（3）在运动过程中，直接写出当为何值时，△BCP为等腰三角形．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不是轴对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.
2．A
【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：要使分式有意义，则，所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟知分式的分母不为0是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B正确，符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、和不是同类项，不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后再进行二次根式的加法运算即可.
【详解】原式=
=
=5，
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则以及二次根式的化简是解题的关键.
5．D
【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据一个三角形的两短边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，符合题意；
故选D．
6．D
【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
【详解】由于=2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3=，
则p=-5,q=-3,
故答案选D.
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
7．B
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开，将和的值代入计算即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴
∵，，
∴
，
故选：B．
8．B
【分析】根据相等关系：现在每天生产的零件数=原计划每天生产的零件数+3，即可列出方程．
【详解】由题意，原计划每天生产的零件数为：个，采用新技术后每天生产的零件数为：个，根据等量关系得方程：
故选：B
【点睛】本题考查了列分式方程，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了已知式子的值、求代数式的值，灵活对已知等式进行变形是解题的关键．
由可得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选D．
10．D
【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点．
【详解】解：过作，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵到直线的距离垂线段最短，
∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，
∵是等边三角形，，，
∴，
故选：D

【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点．
11．
【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
12．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：0.0000046=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．
【分析】此题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．6
【详解】解：根据根号下为非负数由和可判断．故x=2.则y=3.所以xy=6
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对实数知识点的掌握．根据根号下为非负数，而x-2与2-x为相反数可推断出x-2=0为解题关键．
15．8
【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可；
【详解】解：设旗杆的高为 米， 则绳子长为 米，
由勾股定理得： ，解得 ；
答：旗杆的高度是 8 米；
故答案为：8
16.解得：且，
【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17．
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，合并同类二次根式，进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式是解题的关键．
18．2a2+2ab，1
【分析】先根据平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法，再合并同类项即可得到化简的答案，再把代入化简后的代数式求值即可．
【详解】解：原式＝
＝
当a＝﹣1 ，b=时 ，
原式＝

=1
【点睛】本题考查的是平方差公式与完全平方公式的应用，整式的乘法运算，化简求值，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键．
19．
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验．
【详解】由
去分母得，
化简得，
解得，
经检验是原方程的解．
20．(1)100，18°
(2)见解析
(3)900名
【分析】（1）由学习效果“很好”的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“较差”人数所占比例即可得；
（2）根据四种学习效果的人数之和等于被调查的总人数求出“一般”的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中学习效果“一般”的学生人数所占比例即可得．
【详解】（1）解：此次调查的学生人数为：（名，
故样本容量为：；
学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为，
故答案为：100，18°．
（2）学习效果“一般”的人数为：（名，
补全图形如下：
（3）听课效果一般的学生所占百分比为，
由样本估计总体得：该校听课效果一般的学生人数为：（名）．
答：该校听课效果一般的学生人数为900名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（1）见解析；（2）BD=5．
【分析】（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE；
（2）因为BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
（2）因为
所以BD=AE，AD=CE
因为DE=3，CE=2
所以AE=AD+DE=CE+DE=2+3=5
所以BD=AE=5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（1）A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）至少购进A型机器人14台．
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解即可得；
（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式进行求解即可得．
【详解】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，
根据题意，得，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，
当x=120时，x+30=150，
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；
（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥，
∵a是整数，
∴a≥14，
答：至少购进A型机器人14台．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及不等关系是解题的关键．
23．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形，
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解∵，，，
∴．
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）
∠EDG=∠EFG=90且DE=EF∴∠GDF=∠GFD ∴DG=GF=AG
∴是等边三角形，
24．
【答案】(1)②③
(2)或；
(3)-1＜m＜2
【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键．
（1）根据和谐三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“和谐三数组”；
（2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“和谐三数组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（3）由，可得，再由点到原点的距离记为，可得，再求解即可．
【详解】（1）解：①，，，
1、2、3不能构成“和谐三数组”；
②，
1、、能构成“和谐三数组”；
③的倒数为，的倒数为，的倒数为，
，
、、能构成“和谐三数组”；
三组数中构成“和谐三数组”的有②③，
故答案为：②③；
（2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为，
、、构成“和谐三数组”
①当时，解得：；
②当时，解得：；（t+1不等于0）
③当时，解得：；
综上可知，实数的值为或；
（3）解：，∴c=-a-b
点到原点的距离记为，
=1+2x+2x²=2（x+）²+
∴n²=
解不等式得-1＜m＜2
25．(1)当t=时，PA=PB；
(2)t的值为或12；
(3)t为1或10或10.6或9.5时，△BCP为等腰三角形．
【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=t，PC=4-t，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；
（3）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=AB=2.5，易得t的值；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
由勾股定理得AC=，
连接BP，如图所示：
当PA=PB时，PA=PB=t，PC=4t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，
即（4t）2+32=t2，
解得：t=，
∴当t=时，PA=PB；
（2）解：如图1，过P作PE⊥AB，
又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴CP=EP，
在Rt△ACP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），
∴AC=AE=4，
∴BE=1，
设CP=EP=x，则BP=3-x，
在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，
即12+x2=（3-x）2，
解得x=，
∴CP=，
∴CA+CP=4+=，
∴t=；
当点P沿折线A-C-B-A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t=5+4+3=12；
综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或12；
（3）解：①如图2，点P在CA上，当CP=CB=3时，△BCP为等腰三角形，
则t=4-3=1；
②如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP=4+3+3=10，
∴t=10；
③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=3时，△BCP为等腰三角形；
作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，
∴PB=2BD=3.6，
∴CA+CB+BP=4+3+3.6=10.6，
此时t=10.6；
④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，
作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP=AB=2.5，
∴AC+CB+BP=4+3+2.5=9.5，
∴t=9.5；
综上所述，t为1或10或10.6或9.5时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．