北师大版数学七年级下册 5.3.1 等腰三角形的性质 课件

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第五章生活中的轴对称七年级数学北师版·下册5.3.1 等腰三角形的性质教学目标1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)新课导入等腰三角形情境引入新课导入定义及相关概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.底边新课导入剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？互动探究一、等腰三角形的性质1新课导入ABCAB=AC等腰三角形新知探究折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.新知探究找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. AC B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C.∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.新知探究性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.ABCD猜想与验证已知：△ABC 中，AB=AC .求证：∠B=∠C.应用格式：因为AB=AC（已知）， 所以∠B=∠C（等边对等角）.新知探究证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. 因为AD平分∠BAC ， 所以∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， 所以 △ABD ≌ △ACD（SAS）， 所以 ∠B＝∠C.新知探究 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数.典例精析解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？∠BDC= ∠A+ ∠ABD =2∠A,∠ABC= ∠C = ∠BDC =2∠A.（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.因为∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，所以 x+2x+2x=180 °.新知探究解：因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x. 在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° ， 所以∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.新知探究方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.新知探究如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：因为AB=AD=DC， 所以 ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， 所以∠ADC=180°－2x，∠B= ∠ADB=2x. 在△ABC中， 根据三角形内角和定理， 得2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°， 所以∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.针对训练：新知探究例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.A新知探究方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．新知探究建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?二、等腰三角形的性质2新知探究 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么? A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC=90°新知探究性质2 ：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合 （通常说成等腰三角形的“三线合一”）.填一填: 根据等腰三角形性质定理2完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， (1)因为AD⊥BC, 所以∠_____ = ∠_____，____= ____. (2)因为AD是中线， 所以____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3)因为AD是角平分线， 所以____ ⊥____ ，_____ =_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新知探究画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？为什么不一样?((顶角平分线，底边上的中线，底边上的高1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（√）（√）新知探究 判断正误：例3 已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.典例精析新知探究证明：(1)如图①，过点A作AG⊥BC于点G. 因为AB＝AC，AD＝AE， 所以BG＝CG，DG＝EG， 所以BG－DG＝CG－EG， 所以BD＝CE.(2)因为BD＝CE，F为DE的中点， 所以BD＋DF＝CE＋EF， 所以BF＝CF. 因为AB＝AC，所以AF⊥BC.图②图①新知探究方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．新知探究课堂小结等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.课堂小测2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC.若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）A．40° B．30° C．70° D．50° A1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B课堂小测3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________.75°, 30°72°,72°或36°,108°30°，30°课堂小测4.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°， 求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.解：因为AB=AC，D是BC边上的中点， 所以 ∠C= ∠ B=30°，∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°， 所以∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°，课堂小测5.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD，CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F. 求证：EC∥DF.所以∠DBC＝∠ECB.因为∠DBC＝∠F，所以∠ECB＝∠F，所以EC∥DF.证明：因为△ABC为等腰三角形，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为BD，CE为底角的平分线，所以