1号卷2022年高考最新原创信息试卷（五）理数（含解析）

这是一份1号卷2022年高考最新原创信息试卷（五）理数（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为等比数列，，公比.若是数列的前项积，则取最大值时，的值为（ ）
A．4B．5C．3或4D．4或5
6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法不正确的是（ ）
A．若，，，则直线与可能平行
B．若，，，则直线与可能异面
C．若，，则直线与一定垂直
D．若，，，则直线与一定平行
7．在新冠肺炎疫情期间某小区对在外务工，春节返乡人员进行排查，现有甲、乙、丙、丁四名返乡人员，其中只有一个人去过高风险地区.甲说：“乙或丙去过高风险地区，”乙说：“甲和丙都没去过高风险地区.”丙说：“我去过高风险地区.”丁说：“乙去过高风险地区，”这四个人的话只有两句是对的，则去过高风险地区的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为1
B．图象关于y轴对称
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线对称
10．已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线的左、右顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
12．若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知向量，，若，则正数的值为 .
14．已知，则的值为 .
15．如图，在水平放置的平面上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线段的长为 .
16．已知，，，是表面积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥的体积为，则线段长度的最大值为 .
三、解答题
17．已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．现有5个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这5个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)用，分别表示这5个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.
19．如图，将绕旋转一周得到一个圆锥，为底面圆的直径，是等边三角形，点为圆锥的内切球与的切点，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的值．
21．已知平面直角坐标系中，曲线经过伸缩变换得到曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线不过点且不平行于坐标轴，直线交曲线于，两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.
22．已知点，的极坐标为，，直线经过，两点，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于，两点.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的参数方程；
(2)求.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对任意的实数，都有成立，求的取值取值范围；
参考答案：
1．B
【分析】结合函数的定义域与值域的求法及交集定义计算即可得.
【详解】由题意得，，，.
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：C
3．A
【分析】利用充分必要条件的定义求解.
【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件.
故选:A.
4．A
【分析】由函数的奇偶性和指数的增长速度比一次函数的增长速度快可得结果.
【详解】由题意得，，函数为奇函数，
由指数的增长速度比一次函数的增长速度快，知选项A符合要求，
故选：A.
5．D
【分析】根据条件得到，再利用数列的性质即可求出结果.
【详解】由题意得，，
易知数列是递减数列，
当时，，当时，，当时，，
所以，当或时，取最大值，
故选：D.
6．D
【分析】结合线与线、线与面、面与面的位置关系逐项判断即可得.
【详解】对A：若，，，则直线与可能平行、相交或异面，故A正确；
对B：若，，，则直线与可能相交或异面，故B正确；
对C：若，，则直线与一定垂直，故C正确；
对D：若，，，则直线与可能平行也可能异面，故D错误.
故选：D.
7．C
【分析】分别假设甲、乙、丙、丁去过高风险地区，逐一分析四个人的话的对错即可.
【详解】假设甲去过高风险地区，则四人说的都是假话，与题意不符；假设乙去过高风险地区，则甲、乙、丁说的都是真话，与题意不符；假设丙去过高风险地区，则甲、丙说的是真话，乙、丁说的是假话，符合题意；假设丁去过高风险地区，则甲、丙、丁说的都是假话，与题意不符.
故选：C.
8．D
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为.
故选:D.
9．B
【分析】先由二倍角和辅助角公式化简，再结合余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】由题意得，，
则，
∴为偶函数，关于y轴对称，故B正确；
最大值为，故A错误；
由，所以，关于故C错误；
因为，故D错误；
故选：B.
10．B
【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值.
【详解】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
11．A
【分析】由题意计算可得，由结合基本不等式可得，即可得，即可得离心率的范围.
【详解】由题意得，，，设，
则，，，
所以，
又，恒成立，
，，
则双曲线的离心率.
故选：A.
12．A
【分析】构造函数，将已知转化为，利用导数研究函数的单调性可知，且，研究函数的单调性及最值知当时，满足，又为m关于的增函数，所以.
【详解】，由已知需
求导，，故在上单调递增，
且当时，；当时，；
故有解，设为，即，
当时，，函数单减；当时，，函数单增；
所以
令，求导
故函数在上为减函数，且
故当时，；当时，，即当时，满足
令，且，故函数为增函数，
又为m关于的增函数，又，所以
故选：A
13．1
【分析】根据向量垂直的坐标形式可得的方程，故可得正数的值.
【详解】由题意得，，，
，解得（舍去）或.
故答案为：.
14．/
【分析】由条件结合两角差的正切公式可求，再结合二倍角正弦公式及同角关系将化为由表示的形式，由此可得结论.
【详解】由已知，所以，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据斜二测画法的几何关系，再结合余弦定理从而可求解.
【详解】在斜二测画法中，取的中点，则，，，
，
.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意分别作出图形，根据题中几何关系分别求出外接圆的半径为及面积，设出点到平面的距离，从而求出点所在截面圆的半径，从而再利用几何知识从而可求解.
【详解】由球的表面积为，可得球的半径.，，，
，，，
则外接圆的半径为.
设到平面的距离为，则，
解得，则点与平面在球心的异侧.
设球心到平面的距离为，则，
设在球的截面圆所在的平面为，故球心到平面的距离为2，
则截面圆的半径为.
设在平面上的投影为，当最长时最长，
则，故长度的最大值为.
故答案为：.
.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列的通项公式；
（2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案.
【详解】（1）因为当时，，则，所以，
两式相减可得，整理得，
即.
因为是递增数列，且，所以，
则，即，
所以数列是公差为的等差数列，即，
经检验时成立，则.
（2）由（1）知.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意可得每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，从而可求解.
（2）可取的值为，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望，从而可求解.
【详解】（1）依题意知，这5个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
故这5个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为.
（2）由题意可知可为，可为，且，
所以的所有可能取值为，，，
故，
，
，
所以的分布列是
所以数学期望.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题中几何条件，再利用线面平行判定定理即可求解.
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，再利用空间向量求出面面角，从而可求解．
【详解】（1）球是圆锥的内切球，，
为底面圆的直径，是等边三角形，
，是中点，，
平面，平面，平面.
（2）以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得；
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
，
由图知，二面角是钝角，则二面角的余弦值为.

20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得的定义域为，且，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，不合题意；当时，得到，根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数的定义域为，
则，
当时，对，，故在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：当时，由（1）知，在上单调递增，
所以当时，，不合题意；
当时，由（1）知，，
因为对成立，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，
所以不等式的解为，
综上可得，实数的值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）用换元法直接代入即可求出；
（2）当直线，分别与坐标轴重合时；当直线，的斜率均存在且不为零时，设直线，的方程分别为，，直曲联立，用韦达定理表示出面积，再通过换元法和二次函数求出最值即可.
【详解】（1）由得，代入曲线得：，
∴曲线的方程为.
（2）由题意得，.
当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，
当直线，的斜率均存在且不为零时，
设直线，的方程分别为，，，，
联立，得，∴，
则，同理可得，
∴.
令，则，∴，
，
综上，的面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）
(2)
【分析】（1）求得点、的直角坐标得到直线的方程，结合极坐标与直角的互化公式，进而得到直线的极坐标方程，化简得到曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程；
（2）求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由题意得，点，的直角坐标分别为、，
则直线的直角坐标方程为，
故直线的极坐标方程为.
∵，∴，∴，
则曲线的直角坐标方程为，
故曲线的参数方程为（为参数）.
（2）由曲线：，得圆心，
则圆心到直线：的距离，
由圆的弦长公式，得.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由绝对值的意义分绝对值内正负讨论，再解不等式即可；
（2）由绝对值的意义找到最小值，再解一元二次不等式恒成立问题即可.
【详解】（1）由题意得，，
则等价于或或，
解得或或，
则不等式的解集为.
（2）由（1）知，的最小值为.
因为对任意的实数，都有成立.
只需，即，故的取值范围为.
1
3
5