1号卷2022年高考最新原创信息试卷（四）文数（含解析）

这是一份1号卷2022年高考最新原创信息试卷（四）文数（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．20B．C．D．
3．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
4．曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．设，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．31B．C．D．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义域为R的函数满足，且函数的图象与的图象的所有交点为，，…，，则（ ）
A．0B．mC．D．
10．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递减
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右两支分别交于P，Q两点，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知，，若，则 .
14．已知首项为1的数列满足，则 .
15．记抛物线的焦点为F，点，直线与抛物线C交于M，N两点，则四边形的面积为 .
16．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，顶点S，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的表面积为 .
三、解答题
17．第24届冬奥会将于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温．为了解冬奥会知识在某校高中生中的普及程度，该校按性别分层抽样，随机从高中生中抽取了50人参加测试，成绩统计图：
(1)估计该校高中生男生和女生哪个群体掌握冬奥会知识的平均水平更高？
(2)该校计划从得分为100分的高中生中随机抽取两名学生参加市级比赛，抽取的两名学生性别不同的概率．
18．已知数列的前n项和为，且的前n项和为.
(1)求数列的前n项和；
(2)记，求数列的前n项和.
19．如图，表面积为的长方体中，，点M是线段上靠近A的三等分点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.
21．已知椭圆的下顶点为，左、右焦点分别为，.
(1)求的面积；
(2)过点作直线交圆于，两点，过点作垂直于的直线交椭圆于（点异于点），求的最大值.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程；
(2)直线l与曲线C交于M，N两点，且，求的值.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，求证：.
参考答案：
1．A
【分析】根据正弦函数的性质化简集合，根据集合的交集运算的定义求即可.
【详解】因为
所以，又
则，
故选：A.
2．D
【分析】设出，得，代入题设条件，计算即得.
【详解】设，则，即，故.
故选:D.
3．A
【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项.
【详解】解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
4．A
【分析】求导，根据导数的几何意义求解即可.
【详解】解：由题知，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A.
5．B
【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可举反例说明不正确即可.
【详解】对于A中，若，，，则，故A不正确；
对于B, 若，，则，若，则，故B正确；
对于C中，，不一定垂直；
对于D中，，或与相交.
故选：B.
6．B
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义及二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
7．B
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值即得.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，，
目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
作直线，平移直线到直线，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，z最小值，
则，所以的最小值为.
故选：B

8．D
【分析】利用根式与分数指数幂的互化和指对数函数的单调性，分别判断的范围即可得到它们的大小关系.
【详解】因，，又，则，.
故选：D.
9．C
【分析】根据函数图象的对称性求得正确答案.
【详解】由于，即，所以图象关于对称，
函数的图象关于点对称，
则函数和图象的交点也关于对称，
则对于每一组对称点和，
都有，，.
故选：C
10．C
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】由题意得，，
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
则 ，
则函数的最小正周期为，则选项A正确；
当时，，
所以，函数的图象关于直线对称，则选项B正确；
当时，，
所以，函数的图象不关于点对称，则选项C错误；
当时，，则函数在上单调递减，则选项D正确.
故选：C.
11．C
【分析】根据三角恒等变换可化简得，进而由二倍角公式可得，由不等式即可求解.
【详解】由,
由于，得，
即，，.可得是以点C为直角顶点的直角三角形，
则，
可得，又，的取值范围是.
故选:C.
12．C
【分析】过点作于点N，利用直角三角形特征及双曲线定义，结合勾股定理求得，再求出渐近方程.
【详解】过点作于点N，设，
显然直线过左焦点，且倾斜角为，
在中，，，由双曲线定义可知，，
，同理，则，，
于是，，在中，，
即，解得，则，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故选：C

【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
13．/
【分析】利用向量垂直的坐标运算，求的值.
【详解】由题意得，，，，解得.
故答案为：
14．0
【分析】由递推关系可得为周期数列，从而求得的值.
【详解】由题意得，，，，，
所以该数列具有周期性，.
故答案为：0
15．
【分析】结合图形，因直线穿过四边形，且长度可求，故可把四边形的面积分割成两个三角形的面积的和来计算，需要求两个三角形的高，而这可以通过直线与抛物线方程联立后运用韦达定理求得.
【详解】
如图，由题意得，，联立，得.
设，，则，，
而四边形的面积为.
故答案为：.
16．
【分析】连接，交于点，根据线面角的定义证明，由此证明点O与重合，结合球的表面积公式求解结论.
【详解】如图，在正四棱锥中，连接，交于点，连接，
则平面，为侧棱与底面所成的角，
所以.
所以，
所以顶点S，A，B，C，D在以为球心，3为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的表面积为.
故答案为：.
17．(1)该校高中生男生群体掌握冬奥会知识的平均水平高于女生
(2)
【分析】(1)先求出男生和女生的平均分、，比较两个数的大小即可；
(2)设男生中满分学生分别为，，，，女生满分学生分别为A，，利用列举法列出所有可能的结果和性别不同的结果，进而得出答案.
【详解】（1）设男生和女生的平均得分分别为、，则
，
．
∵，∴该校高中生男生群体掌握冬奥会知识的平均水平高于女生．
（2）由统计图可知，得分为100分的人数为6人，
设男生中满分学生分别为，，，，女生满分学生分别为A，，共6人，现从6人中随机抽取两人，共有如下15种可能：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，
其中性别不同的有如下8种可能：
，；，；，；，．
∴抽取的两名学生性别不同的概率为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据通项公式与前n项和公式之间的关系分析求；
（2）根据通项公式与前n项和公式之间的关系分析求，进而利用裂项相消法分析求解.
【详解】（1）由题意可得：当时，，即；
当时，，
，
两式相减可得，，则，也满足；
综上所述：.
（2）当时，；
当时，；
综上：.
可得，
则
.
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由长方体的全面积公式求得侧棱长，通过勾股定理逆定理证得，由线面垂直得，从而得证线面垂直；
（2）利用体积法求得点面距．
【详解】（1）由题意得，，解得，
，.
在长方体中，，，
，即.
在长方体中，平面，平面，
，同理，
又，平面.
（2）设点到平面的距离为h，
由（1）知，平面，，又，
，，.
，，解得，
点到平面的距离为.
20．(1)证明见解析
(2)个
【分析】（1）利用导数求出的单调区间，从而得到的最小值，即可证明；（2）由（1）可得当时，，则，令，利用导数求出的单调区间，得到的最小值，从而求得零点个数.
【详解】（1）当时，，则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
.
（2）由（1）知当时，，即，
，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，无零点.
21．(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，，的坐标，即可得到的面积；（2）由题可得直线的斜率存在，不妨设为，则直线，当时，求出，当时，得到直线的方程为，利用圆的弦长公式求出，联立椭圆与方程，得到韦达定理，从而表示出，得到，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，，，.
的面积.
（2）易知直线的斜率存在，不妨设为，则直线.
当时，直线的方程为，直线的方程为，
则，，此时；
当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为.
联立，得，，则，
，
.
当且仅当，即时，等号成立，
，面积的最大值为.
22．(1)曲线C的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）利用消参法即可得曲线的一般方程，由极坐标与直角坐标之间的互化即可求解，
（2）由直线的参数方程的几何意义，即可由韦达定理求解.
【详解】（1）由题意得，曲线，即，
曲线C的极坐标方程为.
直线l的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为.
（2）设直线l的参数方程为（t为参数），
代入中，化简得，
设M，N两点对应的参数分别为，，则，，
则.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分和讨论即可；
（2）求出，再利用柯西不等式即可.
【详解】（1）当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，.
综上所述，不等式的解集为.
（2）由题意得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，则.
由柯西不等式，得，
当且仅当时，等号成立，即，
成立.