1号卷2022年高考最新原创信息试卷（三）理数（含解析）

这是一份1号卷2022年高考最新原创信息试卷（三）理数（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列说法不正确的是（ ）
A．1964年至1982年间人口增长数最多
B．1982年后，全国总人口增长率逐步放缓
C．具有大学文化的人数逐步增大
D．男性人数与女性人数的差值逐步减小
4．函数在的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，且，则与不共面
B．若，是异面直线，，，且，，，则
C．若，，，，，则
D．若，，，则
6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．B．C．D．
7．设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在圆内的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
10．为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区，为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，矩形为果园种植区，以为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区，现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路，送到矩形的果园种植区去，若，该农户在矩形果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送肥料较近，而另一侧的点沿道路运送肥料较近，设这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
11．已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ）
A．B．C．D．
12．在正三棱锥中，，的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．点D为△ABC的边BC上一点（不含端点），且满足，则的最小值为 ．
14．对任意实数x，有，则__________．
15．如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得,已知山高，则山高 m.
16．斜率为的直线l与椭圆C∶（a>b>0）相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（1，2），则椭圆C的离心率等于 ．
三、解答题
17．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
18．某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
19．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为直角三角形，C是底面圆周上异于A，B的任一点，D是线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)在母线上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设O为原点，，，求证：为定值．
21．已知函数，.
(1)当时，求证：在上单调递增；
(2)若函数在上只有一个零点，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点，求面积的最大值.
23．已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】首先求得集合结合并集的概念即可得解.
【详解】由题意得，，∴.
故选：D.
2．C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其模.
【详解】∵，
∴.
故选：C.
3．D
【分析】根据题中的直方图，折线图，逐个选项进行分析即可.
【详解】由图知，1964年至1982年间人口增长约为3亿，而其它时间段的增长为1亿多，故A正确；
1982年后，人口增长都为1亿多，则增长率逐步放缓，故B正确；
由大学文化占比折线图知，大学文化的人数占比的增幅逐步增大，则具有大学文化的人数逐步增大，故C正确；
各年份男女性人口差值没有逐步变小，1982年后差值都差不多，
故D错误.
故选：D.
4．B
【分析】判断出函数的奇偶性排除两个选项，再由特殊值判断即可.
【详解】∵，
∴为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除C、D选项；
又，故排除A选项.
故选:B.
5．D
【分析】由与是异面直线可判断A；平面内必然存在两条相交直线，使得，，再由线面垂直的判定定理可判断B；由面面平行的判定定理可判断C；由线线位置关系可判断D，进而可得答案.
【详解】对于A：由异面直线的定义可知：若，，且，则与是异面直线；所以与不共面，故选项A正确；
对于B：若，是异面直线，，，则平面内必然存在两条相交直线，使得，，又因为，，则，，所以，故选项B正确；
对于C：若，，，，，由面面平行的判定定理可得，故选项C正确；
对于D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故选项D不正确；
所以不正确的为选项D，
故选：D.
6．A
【分析】依题意设人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，即可得到，从而求出、，即可得解.
【详解】设人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
则，即，解得，
即最小的一份为.
故选：A.
7．C
【分析】根据偶函数的性质得到，再比较、、的大小关系，结合函数的单调性判断即可.
【详解】∵是定义域为的偶函数，∴，
∵，在上单调递减，
∴，
∴.
故选：C.
8．B
【分析】由古典概型以及点与圆的位置关系即可得解.
【详解】点所有可能的情况共种，
其中点P在圆内的所有情形有共6种，
因此所求概率为.
故选：B.
9．A
【分析】结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A
10．D
【分析】根据题意，列出等量关系，根据圆和圆锥曲线的定义，即可判断和选择.
【详解】由题意，从点出发经到界线上一点，与从点出发经到，所走的路程是一样的，
即，所以，
又由，，
所以，
根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.
故选：D．
11．B
【分析】分，，三种情形讨论，结合基本不等式及导数求解即可.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，∵，
当且仅当，即时取等号，所以．
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立．
设，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，∴的取值范围是．
故选：B.
12．B
【分析】由正棱锥的性质及已知条件得其为正四面体，将正四面体补成正方体，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体棱长得对角线长即为外接球直径，从而可得球的表面积.
【详解】因为，正三棱柱中，
所以，则正三棱锥为正四面体.
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，
则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积.
故选：B.
13．.
【分析】由平面向量基本定理得到，化简，展开后利用基本不等式，即可求解．
【详解】由题意，点D为△ABC的边BC上一点，且，
根据平面向量的基本定理，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】常数代换法利用基本不等式求解最值的基本策略：
1、根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
2、把确定的定值（常数）变形为1；
3、把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
4、利用基本不等式求解最值.
14．
【分析】，再由展开式的通项公式求解即可
【详解】
则的展开式的通项公式为：
所以，
故答案为：
15．
【分析】在中，求得，再在中，利用那个正弦定理，求得，进而在直角中，即可求解.
【详解】在中，因为，所以，
在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
故答案为：.
16．/
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用求解即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可推理得解.
【详解】（1），，
当时，，
两式相减得，即，而满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
所以.
18．(1)分布列见解析，
(2)127
【分析】（1）由频率分布直方图求得，进一步有，所以有二项分布，由此即可求出对应的概率、分布列以及数学期望；
（2）由题意，结合题中所给参考数据求得即可进一步得解.
【详解】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列为：
∴.
（2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则，
∴
，
∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由圆锥的性质，得到，再由圆的性质，证得，得到，结合线面垂直判定定理，即可证得平面；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，设，设，求得，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由圆锥的性质知，平面，且平面，所以，
因为是底面圆周上异于的任一点，所以，
又因为点分别为，的中点，所以，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）假设存在，设，且.
由（1）得，平面，且，
以C为原点，，及平行于所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
因为为直角三角形，且，所以，
可得，，，，，
所以，，
因为，可得，
设，则，
所以，可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以.
由（1）知平面，且，
所以平面的一个法向量为，
则，解得或（舍去），
综上可得，母线上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时.
20．(1)；
(2)证明见解析﹒
【分析】(1)代入抛物线方程即可解得p的值；
(2)根据题意，表示出λ和μ，结合直线和抛物线的位置关系表示出，化简即得证﹒
【详解】（1）因点在抛物线上，则，解得，
∴抛物线C的方程为．
（2）设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
∴为定值2．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）代入值，求函数的导数，对导数再次求导为，判断出，则在上单调递增，有，即可判断函数在上单调递增；
（2）分情况对的不同取值进行分析，对函数进行求导，必要时求函数的二阶导数，确定满足题意的值.
【详解】（1）当时，，
则，
令，
.
∵，∴，，，∴，
∴在上单调递增，∴，
∴函数在上单调递增.
（2），，
令，，
①当时，，此时在上恒成立，
∴在上单调递增，∴，
∴在上没有零点，不符合题意；
②当时，当时，，由①知，，
∴，∴在上没有零点，不符合题意；
③当时，，，
当时，单调递增，单调递增，单调递增，
所以在上单调递增，此时，
，当时，，，，
，此时，
∴当时，恒成立，∴在上单调递增，
∴，∴在上单调递增，∴，
∴在上没有零点，不符合题意；
④当时，由③知，，，
∴存在，使得，且当时，，
当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴存在，使得，且当时，，
当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，此时函数在上只有一个零点，
符合题意.综上，的取值范围为.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）由平方关系消元后可得曲线C的普通方程，由公式可得直线的直角坐标方程；
（2）用曲线C的参数方程表示出曲线C上点的坐标，求点到直线的距离，利用三角函数性质得最大值，然后可得面积最大值.
【详解】（1）由（为参数）得，
即曲线的普通方程为.
由得，
则直线的直角坐标方程为，即.
（2）设曲线任一点，
则点到直线的距离
（），
∴当时，，
∴面积的最大值为.
23．(1)
(2)
【分析】（1）确定解析式，考虑，，三种情况，计算得到答案.
（2）变换得到，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得，此时；
当时，恒成立；
当时，，解得，此时.
综上所述：当时，不等式的解集为.
（2）由绝对值三角不等式得，
则原问题等价于在上恒成立.
当，即时，不等式恒成立；
当时，可得或.
若，则，即，解得，此时；
若，则，即，解得，此时.
综上所述：实数的取值范围是.
0
1
2
3
4