四川省成都市双流区成都金苹果锦城第一中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，满分150分，完成时间120分钟．
2．答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，作图使用直尺等作图工具规范作图．
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂除法法则及完全平方公式直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A不正确，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C不正确，不符合题意；
，故D不正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查合并同类项法则，积的乘方，同底数幂除法法则及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握几项定义．
2. 定义一种新的运算：当时，；当时，，则的值为（ ）
A. 17B. 13C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义的含义是解答本题的关键．
【详解】解：∵当时，；当时，，
∴
．
故选A．
3. 若与的乘积中，不含x的一次项和二次项，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先根据多项式的乘法法则将原式展开，再根据乘积中不含x的一次项和二次项得到关于m、n的方程，求出m、n即可得到答案.
详解】解：
，
∵乘积中，不含x的一次项和二次项，
∴，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握运算法则、正确理解乘积中不含x的一次项和二次项的含义是关键.
4. 有以下说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤当时，关于的方程有且只有一个解．其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等式的基本性质：“等式的两边同加或同减去同一个数或整式，等式的值不变，等式两边同乘同一个数或整式，等式的值不变，等式的两边同除以同一个不为0的数或整式，等式的值不变”，根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，时，；故①说法错误；
若，则；故②正确；
若，则；故③正确；
若，因为，所以；故④正确；
当时、关于x的方程有且只有一个解，；故⑤正确；
∴正确的个数有4个．
故选：C．
5. 如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．
根据不等式组有且只有5个整数解可以是，即可得到，解得，由关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可．
【详解】由，得，
由，得，
∵关于的不等式组有且只有5个整数解，
∴这5个整数解是，
∴，
解得，
由方程，可得，
∵方程的解为非负整数，
∴且为整数，
解得且为整数，
∴且为整数，
∴满足条件的整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为3，
故选：B．
6. 如图，点M在线段AN延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
7. 若，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了去绝对值，根据两数相乘，同号得正，异号得负，判断出字母的正负大小是解决本题的关键．根据给出的条件确定、、的正负大小，从而解决问题.
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
8. 已知关于x，y的二元一次方程3x﹣2y+9+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得 ，
∴这个固定解为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9. 如图，一块总面积为的型空地，可以看成由两个正方形和拼成，现计划在长方形区域种植格桑花．若的长为，则格桑花的种植面积为______．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，根据，两边平方后把正方形和的面积为代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵正方形和的面积为，
∴，
∴，
∴，即格桑花的种植面积为．
故答案为：50．
10. 已知实数a、b、c满足，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据已知变形后可得：，，代入可得结论．
【详解】解：，
得：，
，
，
得：，
．
故答案为1．
【点睛】本题考查了解三元方程组和求分式的值，利用了整体代入的数学思想，其技巧性较强，其中把已知等式进行适当的变形是解本题的关键．
11. 已知非0数满足，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式进行化简求值．先将变形为，求得，，，进而解决此题．
【详解】解：，
．
．
．
．
．
．
，，，
，，．
，，．
．
故答案为：．
12. 如图所示几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…依次规律，则第（20）个几何体的表面积是______个平方单位．
【答案】1260
【解析】
【分析】结合图形，发现每一个图形的表面积得出规律计算即可；
【详解】结合图形，发现：（1）中个平方单位，（2）中个平方单位，以此推论可得第（20）个图形的表面积是个平方单位．
故答案为：1260．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题型，结合图形表面积的计算是解题的关键．
13. 在长方形内，将两张边长分别为8和5的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为______．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列出算式是解答本题的关键．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∵，
，
∴
．
故答案为：10．
三、解答题（本大题共7个小题，共54分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】（1）0；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，不等式组的解法，正确的计算过程是解决本题的关键．
（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；在计算中巧妙运用乘法运算律往往使计算更简便；
（2）分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集．
【详解】解：（1）
；
（2）解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为．
15. 先化简，再求值：的值．其中．
【答案】，87
【解析】
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项法则化简，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出和的值，最后根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题考查了乘法公式，单项式乘以多项式，以及多形式乘以多项式，以及非负数的性质，熟练完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则、平方和绝对值的非负性是解决此题的关键．
16. 解不等式：．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，把转化为或求解即可．
【详解】∴，
∴或，
解得，
解得．
综上可知，或．
17. 已知关于的方程与有相同的解．
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
（1）先求出方程的解，得到，再把这个解代入到方程中得到关于m的方程，据此求解即可；
（2）把，代入方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
把代入到方程中得：，
去括号得： ，
移项得：，
合并得：，
系数化1得：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴关于的方程为，
整理得，
解得．
18. 已知实数满足．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值．
（1）由，结合，，求得，再利用完全平方公式变形即可求解；
（2）由（1）得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
又∵，
∴．
19. 已知关于的方程组．
（1）请写出方程的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数的解．
【答案】（1），
（2）整数m的值为或或或4
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴方程的正整数解有：，；
【小问2详解】
，
得，，
∴，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴，，，，
∴或；或；或；或．
此时，，，，，，4，11．
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意，
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意，
综上，整数m的值为或或或4．
20. 已知是的角平分线．

（1）如图1，若，则______°；
（2）如图2，若是的角平分线，求的值；
（3）在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若同时开始旋转秒后得到，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的值为秒或秒．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
（1）由题意得，再求出，即可得出答案；
（2）先由角平分线定义得，，再证，即可得出答案；
（3）分三种情况：①当射线、在内部时，即时，则，，由角的关系得，解得（舍去）；
②当射线在内部时，射线在外部时，即时，由角的关系得，解得：；
③当射线、在外部时，即时，由角的关系得，解得：．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
平分，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：平分，
，
平分，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：分三种情况：
①当射线、在内部时，
，
，
即时，
由题意得：，，
，，
，
，
解得：（舍去）；
②当射线在内部时，射线在外部时，
，
，
即时，
则，，
，
解得：；
③当射线、在外部时，
，
，
即时，
则，，
，
解得：；
综上所述，的值为秒或秒．
第Ⅱ卷（共50分）
一、选择题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）
21. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查含绝对值方程的解和绝对值的化简．根据题意得出，，，推出，，，据此求解即可．
【详解】解：∵方程无解，
∴，
∵有两个解，
∴，
∵只有一个解，
∴，
∴，，，
∴，
故选：D．
22. 对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①；②，再分别根据新定义运算的含义建立不等式组，再解答即可．
【详解】解：①若，
由得，
解，得：，与不符，舍去；
②若，
由得，
解得，
不等式组恰好有个整数解，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，理解新定义运算的含义，再建立不等式组是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
23. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】首先把关于，的方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【详解】解：方程组整理为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
24. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据已知式子的值求代数式的值，将整理变形为与相关的式子，将代入整理后的式子，即可解题．
【详解】解：
，
，
原式，
故答案为：．
25. 已知，则的值是________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式应用，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为13．
故答案为：13．
26. 已知能被整除，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了多项式与多项式的除法，多项式与多项式的乘法，解二元一次方程组，设，然后根据多项式与多项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：设，
则，
∴，
∴．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共2个小题，共26分）
27. 一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，己知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量．
【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．
（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得：
，
解得：，
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
【小问2详解】
解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得：
，
消去z得，
∴，
因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15，
则，10，8，6；
又z是非负整数，解得z=6，3，0，
∴或或，
∴共有三种运送方案：
方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；
方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；
方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．
28. 不等式组的解集是关于的一元一次不等式解集的一部分，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集为，然后分别讨论当时，当时，当时，不等式的解集，然后根据不等式组的解集是关于的一元一次不等式解集的一部分进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵，
∴当时，
∵不等式组的解集是关于的一元一次不等式解集的一部分，
∴，
∴；
同理当时，，
∵不等式组的解集是关于的一元一次不等式解集的一部分，
∴，
∴；
当时，恒成立，即关于的一元一次不等式的解集为一切实数，
∴此时也满足不等式组的解集是关于的一元一次不等式解集的一部分，
∴综上所述，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．
29. 设是整数，且满足下列条件：①；②；③．求的最小值和最大值．
【答案】最小值为，最大值为．
【解析】
【分析】此题考查了数字的变化规律．设整数，，，，中有个，个，个，个，求得含的式子表示出，，根据即可求解．
【详解】解：设整数，，，，中有个，个，个，个，
则，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
记，
则，即，
∴当，，时，取最小值为，
当，，时，取最大值为．
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
300
400
500