27，江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份27，江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。
请注意：1．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效．
2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握分式的化简方法是解题的关键．先用表示，再将代入所求式子化简即可．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
2. 若，可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
直接利用特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：∵，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高∴，
又∵，
∴可能是．
故选：D．
3. 已知，与的面积比为，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与的面积比为，，
∴，则（负值舍去），
故选：B．
4. 如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A. B. C. 距离一样D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法．
首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可．
【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心，
∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离
∴所在圆的圆心到线段的距离更小．
故选：B．
5. 某区举办团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学名学生的成绩的平均数和方差，即可求解，熟练掌握求平均数和方差的公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：甲所中学名学生的成绩为，，，，，
乙所中学名学生的成绩为，，，，，
∴， ，
，
，
∴，，
故选：．
6. 已知二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（ ）
A. B. C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，
∵抛物线经过点两点，且，
∴，
解得：或，
∴的值可能是4；
故选C．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 在市建设规划图上，城区南北长为，市城区南北实际长为，该市该规划图的比例尺为______．
【答案】7500
【解析】
【分析】此题考查了比例尺的定义．此题比较简单，注意掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．由题意，根据比例尺图上距离：实际距离，直接代入数值求解即可，注意统一单位．
【详解】解：，
规划图采用的比例尺是：．
故答案为：
8. 二次函数的图象与轴的交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．对于二次函数，令，解得，即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则有，
所以，该函数图象与轴的交点坐标为．
故答案为：．
9. 一只不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有5个，黑球有个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的概率为，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，分式方程．根据摸到红球的概率为，利用概率公式建立关于的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：8．
10. 若是方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据，是一元二次方程的两根时，，进行解答即可．
【详解】解：若是方程的两根，
则．
故答案为：．
11. 如图，三个顶点均在正方形网格的格点上，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键．取格点D，连接、，根据，得出，根据三角函数定义，求出结果即可．
详解】解：取格点D，连接、，如图所示：
∵，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线的图象向右平移2个单位所得函数图象的关系式是：；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线的图象向下平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：．
故答案为：．
13. 点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝5且，则PA长最接近的整数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据黄金分割比例求出，然后利用无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝5且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴PA长最接近的整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了黄金分割和无理数的估算，熟知黄金分割比例和无理数的估算方法是解题的关键．
14. 如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：2
15. 在平面直角坐标系中，点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，均落在二次函数图像上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似的性质，二次函数的对称性，先求解，或，，再利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】解：∵点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，
∴，或，，
当过，时，
∴，解得：，
当过，时，
∴，解得：，
综上：，
故答案为：
16. 如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则______．

【答案】48或36
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正m边形与内接正n边形的中心角得到，根据，得到m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】解：连接，如图，

，
，
，
，
，
m，n的中有一个值必是3的倍数，且均为正整数，
设（均为正整数），则，
（n为正整数），
当时，（不符合题意）；
当时，，则；
当时，（不符合题意）；
当时，，则；
当时，（不符合题意）；
当时，，（不符合题意）；
；
当时，n均不为正整数，（不符合题意）；
综上，的值为48或36．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1），；（2）1
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，实数的混合运算．
（1）根据配方法解一元二次方程即可．
（2）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算即可．
【详解】（1）
，
，；
（2）原式
．
18. 某品牌汽车销售公司有营销员人，销售部为制定营销人员月销售汽车定额，统计了这个人某月的销售量如下（单位：辆）：
（1）这位营销员该月销售量的中位数是______辆，众数是______辆；
（2）若销售部工作人员把表中销售量数据“”看成了“”，那么销售量的中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）；
（3）销售部经理把每位营销人员月销售量定额定为辆，你认为是否合理，请说明理由．
【答案】（1），
（2）中位数 （3）不合理，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了方差、中位数和众数等相关知识，解题的关键是掌握这些知识．
（1）根据中位数，众数的定义即可求解；
（2）根据中位数、方差，平均数的定义即可求解；
（3）从大多数人能完成目标的角度去考虑即可．
【小问1详解】
解：将这组数据按大小顺序排列，其中位数为：（辆），
由于出现的次数最多，有次，则这位营销员该月销售该品牌汽车的众数是辆，
故答案为：，；
【小问2详解】
平均数和方差与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数和方差的的变动，中位数仅与数据的排列位置有关，而“”按顺序排列排在最后一位，
“”看成了“”对中位数没有影响，
故答案为：中位数；
【小问3详解】
不合理，若将月销售量定额定为辆，则多数营销员可能完不成任务（管理者希望只有少数人超定额，定的比中位数稍高）．
19. 现有两副完全相同的手套（分左、右手）．
（1）从中任取一只，取到左手手套的概率是______；
（2）从中任取两只，请用画“树状图”或列表格的方法，求这两只手套恰好配成一副的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由概率公式直接求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及这两只手套恰好配成一副的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
从中任取一只，取到左手手套的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两只手套恰好配成一副的结果有8种，
这两只手套恰好配成一副的概率为．
20. 某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张．
（1）在尽可能多的售出门票的前提下，要使门票收入达到36480元，票价应定为多少元？
（2）票价应定为多少元时，门票收入最多？最多达到多少元？
【答案】（1）定价为32元
（2）当票价增加5元，即定价为35元时，收入最多为36750元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设票价增加元，根据“票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张”列出方程并求解，即可获得答案；
（2）设门票收入为元，根据题意列出二次函数解析式并整理为顶点式，结合二次函数的图象与性质，即可获得答案．
【小问1详解】
解：设票价增加元，
根据题意，可得，
解得，，
∵要尽可能多售出门票，
∴，
此时定价为元．
答：定价为32元；
小问2详解】
设门票收入为元，
根据题意，可得，
∵，
∴该函数图象开口向下，
∴当票价增加5元，即定价为35元时，收入最多为36750元．
21. 如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上点测得亭子顶端的仰角为，此时地面上点、亭檐上点、亭顶上点三点恰好共线，继续向亭子方向走到达点时，又测得亭檐点的仰角为，亭子的横梁，，交于点（点在同一水平线上）．
（1）求长度；
（2）求亭子的高（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】（1）4.2米
（2）13.7米
【解析】
【分析】（1）首先根据题意可得，，则在中，利用三角函数解得的值即可；
（2）过作，设，首先证明四边形为矩形，由矩形的性质可得；在和中，分别求得，，结合题意可得，解得的值，然后由求解即可．
【小问1详解】
解：依题意得，，
∴，，
∴在中，，
∴米．
答：的长度为4.2米；
【小问2详解】
如下图，过作，设，
∵根据题意，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，解得，
∴米，
∴米．
答：亭子高为13.7米．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角函数的应用、矩形的判定与性质等知识，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
22. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，点C、D分别是半径、的中点，将沿对折，点O落在P处，E为上一点．
（1）若______，求证：______；（把“D、P、E在一直线上”，“”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明）
（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）选，证明；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆心角和圆周角的性质以及不规则图形的面积的求法，熟练掌握圆心角的性质是解题的关键．
（1）连接，根据已知条件先得出，再根据对折的性质得出，根据边角关系进而得出，，最后即可得证；
（2）在（1）的条件下，可求出扇形和的面积，从而得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
选，证明
证明如下：
连接，如图：
在圆心角为的扇形中，半径，
，
点C、D分别是半径、的中点，
，
，
，
将沿对折，点O落在P处，
，
，
在中，，
，
，
．
【小问2详解】
解：在（1）的条件下，
，
，
．
23. 已知点和在二次函数（、是常数，）的图像上．
（1）若，求、的值；
（2）若二次函数（、是常数，）的图像向下平移个单位后，仍与轴有两个交点，求的取值范围．
【答案】23. ，；
24. ．
【解析】
【分析】将代入后根据待定系数法求解即可；
先将和代入，求得和，再根据二次函数的平移规律得到平移后的解析式，此时仍与轴有两个交点即为一元二次方程有两个不等实数根，结合根的判别式即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：，
，
分别代入和，
得，
解得．
【小问2详解】
解： 将和代入，
，
解得，
二次函数解析式为，
依题得：向下平移后的二次函数为，
与轴仍有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，
又，
．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
24. 如图，中，，分别为边的点，，．

（1）用圆规和没有刻度的直尺在线段上求作一点，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点作交于，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，平行线的性质．
（1）以点为圆心，为半径画弧交于点，连接交于一点,该点即为点；
（2）由（1）可证明，得到，推出，再证明，得到，最后证明，得到，进而得到，即可求解．
【小问1详解】
如图所示即为所求，
【小问2详解】
连接，由（1）可得，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
．

25. 综合与实践
【答案】任务一：见解析；任务二：若B、E在异侧，无论为何值，都不等于30度；若B、E在同侧，；任务三：
【解析】
【分析】（1）根据点G是的重心，可得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可解答；
（2）分B、E在异侧和在同侧两种情况进行讨论即可；
（3）分当E点在外时，当F点在外时，点E在边上，点F在边上，情况进行讨论即可．
【详解】（1）证明：点G是的重心，
、为中和边上的中线，
即D是的中点，H是中点，
，，
，，
，
，即 ；
（2）若B、E在异侧，不论为何值，始终等于，不等于
若B、E在同侧，，D为的中点，
，
，，
，，
，，
如图，当E点外时，
，
，
，
，则，
如图，当F点在外时，
，
，
，
，则，
点E、F在内，包括点E在边上，或点F在边上，
如图，点E在边上，则，
过点D作于点M ，令，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，，
，
点F在边上，点D在点处，则，
过点作与点N，令，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
26. 综合与探究
如图，正方形中，为边上异于的一动点，为边上一点，为线段上的动点，于，于．
（1）求证：；
（2）若为中点，设为．
①求的长（用含的代数式表示）；
②求四边形面积的最大值；
（3）当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．
【答案】（1）见解析 （2）①；②12
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定证明即可．
（2）延长交于点P，则，，
设为，根据得出，求出即可进一步求得的长．根据题意列出四边形面积的一元二次方程，求最大值即可．
（3）设，即可求出，根据（2）可得，列出四边形面积与的关系式，求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵，为中点，，
∴，
∴，，
延长交于点P，
在正方形中，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴与平行，
则，，
∴，
即，
∴
∴
∴；
②
∵，开口向下，
∴当时，S随x的增大而增大，
∵，
∴当时，S有最大值为12；
【小问3详解】
解：设，由（1）得：
，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴
∴
∵，开口向下，对称轴，
又∵
∴，
∴当时，S随x的增大而增大，
∵，
∴四边形面积随着的增大而增大．销售量
4
5
8
13
17
20
人数
2
3
5
2
1
1
周末小亮遇到了这样一道题：
【作业】如图1，中，，G为其重心，D为的中点，以G为圆心，长为半径画，过A点作的两条切线，切点分别为E、F，求的值．
【小亮的解答】连接．
G为重心，D为的中点，
A、G、D在一直线上，
，
，
、与相切，
，
在中，，
，同理，，
，
．
小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务
【反思1】小亮的解答过程中得到“”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接并延长交于H，连接）即可．
【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“”的过程．
【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变，的值是否会发生改变？
【任务2】请你求出满足什么条件时，的值保持为？
【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为的中点”改为“D为边上一动点，G为线段上一点，”其它条件保持不变，的值是否会发生改变？
【任务3】若，，请你直接写出的长度在什么范围内时，的值保持为？