【讲通练透】高考数学知识大盘点 专题11 等差数列与等比数列（思维导图 知识梳理 方法技巧 易混易错）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题11 等差数列与等比数列
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：(，为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
（3）等差数列与函数的关系
= 1 \* GB3 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
= 2 \* GB3 ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列是等差数列，是其前项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
2、等差数列前项和的性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为，则，；
（2）若项数为，则，，，.
知识点4 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
知识点5 等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。
2、等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，，…则该数列的第211项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，该数列可表示为，
该数列的通项公式为，所以，故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，.
对于A，由得符合条件，故A正确；
对于B，由得符合条件，故B正确；
对于C，由得
符合条件，故C正确；
对于D，由得，，
不符合条件，故D错误.故选：D.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…； （2）
（3）； （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）数列为：9，99，999，9999，…，
分析可得，，，，…，
故.
（2）数列为： ，
分析可得，，，，…，
故.
（3）数列为： ，
分析可得，，，，…，
故.
（4）数列为： ，
分析可得，，
，，…，
故.
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意，，故A正确，
，故C正确；
，，，∴数列是周期数列，周期为3．
，故B错误；
，故D正确．故选：ACD．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，且，则 .
【答案】4047
【解析】由，，得当时，，
两式相减并整理得，由，得，解得，
显然，于是，则有，即当时，，
因此数列是以3为周期的周期数列，而，
所以.
故答案为：4047
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则数列的前2009项之和为 .
【答案】
【解析】由，得，
则，
，
∴数列是以4为周期的数列，.
由可得，，
.
故答案为：.
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，
利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：
①若有（或时，），
则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为；
②若有（或时，），
则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为．
【典例1】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知数列的前n项的积为，且，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】当时，当时，
所以，而，
故为最小项，为最大项．故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵数列的前项积，
当时，，当时，，
，时也适合上式，
∴，
∴当时，数列单调递减，且，
当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为2.故选：C.
【典例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列的通项为，，则（ ）
A．数列的最小项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4
【答案】BCD
【解析】，当时，，则单调递增；
当时， ，则单调递减，
又，，，
所以数列的最大项为，无最小项，故A错误，B正确；
，
当时， 单调递减，；
当时，各项为正且单调递减，
所以数列的最小值为，
数列的最大值为，故CD正确，故选：BCD
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（2023秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
【答案】B
【解析】设公差为，
由，得，解得，
所以，所以.故选：B.
【典例2】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）（多选）设等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．最大
【答案】AB
【解析】设等差数列的公差为，
因为，所以，
化简得，即，又，所以，
所以，
则，故正确；
，故正确；
，则，故错误；故选：
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，，则实数m的值是 ．
【答案】
【解析】依题意，
设等差数列的公差为，
则，，
两式相减得，则，
，
所以，解得.故答案为：
五、等差数列的判定与证明的方法：
1、定义法：或是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足；
3、等差中项法：为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
5、前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列的首项不为零，满足，，则 .
【答案】2023
【解析】因为，所以
两式相加得.
故数列的奇数项成等差数列，公差为，
故，故.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为是1与的等差中项，
所以，即，
所以，
所以，
即，是常数，
故数列是等差数列.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【典例4】（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知公比大于1的等比数列满足：，．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）方法1：设公比为，
因为是等比数列，所以，
又，解得或．
又，所以，所以，．
因此；
方法2：设公比为，
由等比数列性质得出，解得或，
又，所以，
因此．
（2）由（1）得，所以，
两式作差可得，
即，整理得，．
方程同除以得，，即（）．
所以数列是公差为的等差数列．
六、等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（2023·河南·统考模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【解析】由题意得，所以，
所以.故选：C.
【典例2】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）设等差数列中，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】由，，两式相减可得，
则.故选：B
七、等差数列的前n项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
【典例1】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，
，，故，
.故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，若，，则 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，则，
故对任意的，，
因此，数列为等差数列，且其公差为，
所以，，可得，
所以，，故.
故答案为：.
【典例3】（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）若等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
【答案】
【解析】因为，且，
由等差数列前项和的性质得，故答案为：.
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴，
∴，∴n＝10，故选:B.
八、等差数列前n项和最值求法
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1