【讲通练透】专题13 双曲线-2024高考数学题源解密（全国通用）

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高考命题专家命制高考试题时绝非凭空杜撰，必有命题的原始模型（“题根”）和命题着力点（“题眼”），对“题根”与“题眼”进行深入的探求与拓展可构造出高考母题。命题人拿来千变万化为难你们的历年真题，本质上也是从这有限的母题中衍生出来的。母题的重要性不言而喻。
专题13 双曲线
目录一览
2023真题展现
考向一 双曲线的离心率
真题考查解读
近年真题对比
考向一 双曲线的渐近线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 双曲线的离心率
1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A→⊥F1B→，F2A→=−23F2B→，则C的离心率为 ．
【答案】355
解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则F2A→=(x−c，y)，F2B→=(−c，n)，
又F2A→=−23F2B→，则x−c=23cy=−23n，可得A(53c，−23n)，
又F1A→⊥F1B→，且F1A→=(83c，−23n)，F1B→=(c，n)，
则F1A→⋅F1B→=83c2−23n2=0，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，则259c2a2−49n2b2=1，整理可得25c29a2−4n29b2=1，
代n2＝4c2，可得25c2a2−16c2b2=9，即25e2−16e2e2−1=9，
解得e2=95或15（舍去），
故e=355．
（法二）由F2A→=−23F2B→，得|F2A→||F2B→|=23，
设|F2A→|=2t，|F2B→|=3t，由对称性可得|F1B→|=3t，则|AF1→|=2t+2a，|AB→|=5t，
设∠F1AF2＝θ，则sinθ=3t5t=35，所以csθ=45=2t+2a5t，解得t＝a，
所以|AF1→|=2t+2a=4a，|AF2→|=2a，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得csθ=16a2+4a2−4c216a2=45，
即5c2＝9a2，则e=355．
【命题意图】
考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
二、双曲线的方程及简单几何性质
三、双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
四、直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x