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中考数学几何模型专项复习 模型18 轴对称——将军饮马模型-（原卷版+解析）
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这是一份中考数学几何模型专项复习 模型18 轴对称——将军饮马模型-（原卷版+解析），共22页。
类型一：和两旁
模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得
PA＋PB的值最小.
【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.
模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小
【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线
l的交点即为所求点P.
模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.
【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接
P1P2 ，与两射线的交点即为所求点 M，N。
此图结论：
1.OP＝OP1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN≥P1P2
∠P1OA＝∠POA,∠P2OB＝∠POB,∠P1OP2＝2∠AOB
对称：△OMP≌△OMP1
模型4 ：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABDC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABDC即为所求．
模型5 在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
模型7已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
和两旁
【总结】研究几何最值：
⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短
类型二：差同旁
模型8在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求 点P
此时|PA-PB |=0
模型9 在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
模型10 ：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
1．(2023·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
1．(2023·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
2．(2023·海南三亚·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
3．(2023·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
(2)求．
(3)在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由．
4．(2023·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
1．(2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
2．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值=
.
轴对称
模型（十八）——将军饮马模型
类型一：（河）和两旁
模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得
PA＋PB的值最小.
【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.
模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小
【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线
l的交点即为所求点P.
模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.
【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接
P₁P₂ ，与两射线的交点即为所求点 M，N。
此图结论：
1.OP＝OP1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋BN＋MN＋≥P1P2
∠P1OA＝POA,∠P2OB＝POB,∠P1OP2＝2∠AOB
对称：△OMP≌△OMP1
模型4 类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
模型5 在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
模型7已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
和两旁
【总结】研究几何最值：
⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短
类型二：差同旁
模型8在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求 点P
此时|PA-PB |=0
模型9 在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
模型10 ：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
1．(2023·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
2．(2023·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
答案:B
分析连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF＋EF的值最小，最小值为CE．
【详解】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，
∴BF＝CF，
∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE，
此时BF＋EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是等边△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF＋EF的最小值为6，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
1．(2023·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
答案:3
分析如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
∵，，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴是点到直线的最短距离，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
2．(2023·海南三亚·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
答案:40°##40度
分析要使△CEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出C关于BA和AD的对称点N，M，即可得出，最后利用△CMN内角和即可得出答案．
【详解】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．
∵，，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当的周长最小时，的度数是40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出的周长最小时，E，F的位置是解题关键．
3．(2023·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
(2)求．
(3)在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由．
答案:(1)见解析，A1（1，-1），B1（4，-2）C1(3，-4)
(2)3.5
(3)存在，见解析
分析（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，则可得解．
（1）
解：如图， 即为所求：
，，的坐标分别为：（1，-1）、（4，-2）、（3，-4）；
（2）
解：；
（3）
解：存在．
如上图，作点A关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点P的位置．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
4．(2023·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
分析（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
1．(2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
答案:（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②．
分析（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.
【详解】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示，
（2）延长DE交AB的延长线于F，
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DG，
∵KH∥DG，
∴，
∴，
∴KH，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为．
【点睛】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
2．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
答案:（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．
分析（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的性质得BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、解直角三角形，轴对称−−最短路径问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考压轴题．
类型一：和两旁
模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得
PA＋PB的值最小.
【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.
模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小
【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线
l的交点即为所求点P.
模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.
【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接
P1P2 ，与两射线的交点即为所求点 M，N。
此图结论：
1.OP＝OP1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN≥P1P2
∠P1OA＝∠POA,∠P2OB＝∠POB,∠P1OP2＝2∠AOB
对称：△OMP≌△OMP1
模型4 ：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABDC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABDC即为所求．
模型5 在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
模型7已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
和两旁
【总结】研究几何最值：
⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短
类型二：差同旁
模型8在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求 点P
此时|PA-PB |=0
模型9 在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
模型10 ：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
1．(2023·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
1．(2023·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
2．(2023·海南三亚·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
3．(2023·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
(2)求．
(3)在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由．
4．(2023·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
1．(2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
2．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值=
.
轴对称
模型（十八）——将军饮马模型
类型一：（河）和两旁
模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得
PA＋PB的值最小.
【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.
模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小
【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线
l的交点即为所求点P.
模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.
【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接
P₁P₂ ，与两射线的交点即为所求点 M，N。
此图结论：
1.OP＝OP1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋BN＋MN＋≥P1P2
∠P1OA＝POA,∠P2OB＝POB,∠P1OP2＝2∠AOB
对称：△OMP≌△OMP1
模型4 类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
模型5 在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
模型7已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
和两旁
【总结】研究几何最值：
⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短
类型二：差同旁
模型8在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求 点P
此时|PA-PB |=0
模型9 在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
模型10 ：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
1．(2023·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
2．(2023·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
答案:B
分析连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF＋EF的值最小，最小值为CE．
【详解】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，
∴BF＝CF，
∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE，
此时BF＋EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是等边△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF＋EF的最小值为6，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
1．(2023·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
答案:3
分析如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
∵，，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴是点到直线的最短距离，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
2．(2023·海南三亚·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
答案:40°##40度
分析要使△CEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出C关于BA和AD的对称点N，M，即可得出，最后利用△CMN内角和即可得出答案．
【详解】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．
∵，，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当的周长最小时，的度数是40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出的周长最小时，E，F的位置是解题关键．
3．(2023·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
(2)求．
(3)在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由．
答案:(1)见解析，A1（1，-1），B1（4，-2）C1(3，-4)
(2)3.5
(3)存在，见解析
分析（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，则可得解．
（1）
解：如图， 即为所求：
，，的坐标分别为：（1，-1）、（4，-2）、（3，-4）；
（2）
解：；
（3）
解：存在．
如上图，作点A关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点P的位置．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
4．(2023·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
分析（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
1．(2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
答案:（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②．
分析（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.
【详解】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示，
（2）延长DE交AB的延长线于F，
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DG，
∵KH∥DG，
∴，
∴，
∴KH，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为．
【点睛】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
2．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
答案:（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．
分析（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的性质得BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、解直角三角形，轴对称−−最短路径问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考压轴题．
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