2024台州高一上学期期末考试数学含解析

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，若 是10位数，则 最小值是（ ）
A. 29B. 30C. 31D. 32
8. 已知函数 部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递减D. 函数最大值为1
11. 定义域均为的奇函数和偶函数，满足 ，则（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
12. 设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ，
. 则（ ）
A. 当时，若，则
B. 当时，的最小值为
C. 当时， 恒成立
D. 当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 角第_____________象限角.
14. 已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是_________.
15. 已知， 值为_________.
16. 若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
18. 已知，.
（1）若 ，求 ；
（2）若 是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19. 已知函数 的最大值为2.
（1）求常数的值；
（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的取值范围.
20. 从①；②函数为奇函数；③的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且 .
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21. 如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.

（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
22. 已知函数 .
（1）用单调性定义证明：在上单调递增；
（2）若函数有3个零点，满足，且 .
①求证： ；