浙江省台州市天台县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形定义求解．
【详解】解：根据定义，C图为轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合．
2. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【详解】A. ∵1+2=3，∴不能组成三角形，故A选项正确；
B. ∵2+3>4，∴能组成三角形，故B选项错误；
C. ∵3+4>5，∴能组成三角形，故C选项错误；
D. ∵4+5>6，∴能组成三角形，故D选项错误．
故选A.
3. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的变化规律即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换——轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标的变化规律是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的运算等知识，对每个选项根据相应法则逐一计算即可得出答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：．不是同类项，不能相加，故本选项不符合题意；
．，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故本选项符合题意；
．，幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
根据平方差公式分析判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
6. 若分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分母不为0，代入计算即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，即．
故选：C．
7. 根据图中四个三角形所给的条件，可以判定两个三角形全等的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两个三角形全等的判定方法，熟练掌握两个三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据两个三角形全等的判定方法判断即可．
【详解】解：由三角形内角和定理可得图的三角形的第三个角为，
图和图的三角形有一条边和两个角相等，
根据即可判定图和图的两个三角形全等．
故选C．
8. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则阴影部分的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握利用完全平方公式的变形求值和用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行适当的变形，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：B．
9. 如图，在纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换以及三角形的周长，根据折叠的性质结合三角形三边的长度求出、的长度是解题的关键．根据折叠的性质可得出、，结合、、的长度可求出、的长度，再根据三角形周长公式即可求出结论．
【详解】解：根据折叠可知：、 ，
:, ，
.
故选：A．
10. 现有1张边长为a的正方形A型纸片，12张边长为b的正方形B型纸片，15张长、宽分别为a，b的长方形C型纸片，小明同学用这些纸片，拼成无缝隙无重叠且面积尽可能大的长方形，发现A型和B型纸片都用完了，而C型纸片还剩下若干张，那么剩下的C型纸片最少的张数是（ ）
A. 8B. 7C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查了多项式乘多项式的应用，解答的关键是掌握多项式乘多项式的方法．
根据题意以及多项式乘多项式解答即可．
【详解】解：当拼接的长方形面积为时，，
最少剩C型2张．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：x－x＝__________.
【答案】x(x-1)
【解析】
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【详解】解：x2-x=x（x-1）．
故答案为：x(x-1).
12. 化简：_______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用同分母分式的减法运算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为为：1
【点睛】此题考查了分式的减法运算，熟练掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加减是解题的关键．
13. 己知九边形的其余8个角的度数均为，那么第九个角的度数为__________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的求法是解题的关键．
先求出九边形的内角和，再减去8个内角的度数即可．
【详解】解：九边形的内角和为，8个内角的度数为，
第九个角的度数为．
故答案为：．
14. 如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键．
设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案．
【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为，
，，
，
故答案为：9．
15. 如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】先由轴对称的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质得到，设，，则，根据三角形内角和得，即，得根据三角形外角性质得方程即，求解即可．
【详解】解：∵将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，
∴，
∵将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，
在中，
∴，即
∵在中，，
又∵，
∴即
把②代入①，解得：
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16. 如图，已知是等边三角形，过点C作，D是线段上一点，在直线上找一点F使得是等腰三角形：
（1）当时，则__________；
（2）当时，则__________．
【答案】 ① ②. 或或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质：
（1）先由等边三角形的性质，得，因为当时，，结合等腰三角形的性质，即可作答．
（2）分三种情况求解：分为；；，结合等边对等角，以及等腰三角形的性质，分别作图，运用数形结合方法，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴
（1）当时，，如图，
则
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
．
（2）当时，分三种情况求解：①当时，如图，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∵是等腰三角形，
∴
∴；
②当时；如图，
在截取
∵，是等边三角形
∴
∵
∴
∴
则
∵
∴是等边三角形，
∴
③当时，截取，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
即
综上：当时，则的度数为或或．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题，每题8分，第21题10分，第22~23题，每题12分，第24题14分，共80分）
17. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式法则、完全平方公式、去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的乘法法则进行计算即可；
（2）先利用完全平方公式计算，再根据去括号法则和合并同类项法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先将式子化简，再从四个数中选取一个适当的数作为x的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】题目主要考查分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【详解】解：
．
，且，
∴x只能取2，
当时，原式．
19. 如图，在中，是边上的高线，
（1）试说明是什么三角形，并说明理由；
（2）若，，求的长
【答案】（1）直角三角形，见解析
（2）6
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
（1）证明，再根据三角形内角和定理求得，即可得出结论；
（2）利用含30度直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可．
【小问1详解】
解：是直角三角形．理由如下：
∵是边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20. 如图，点D，E在的边BC上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等有，再根据等边对等角的性质即可证明．
（2）利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得， ，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
由(1)知∶ ，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）．

（1）作边上的中线；
（2）作的角平分线；
（3）找格点F，连接，使．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，三角形的中线，角平分线和高线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）取格点E，连接交于点E，线段即为所求；
（2）取格点D，连接，线段即为所求；
（3）取格点F，连接，线段即为所求．
【小问1详解】
解：取格点E，连接交于点E，如图1，线段即为所求；

图1
【小问2详解】
解：取格点D，连接，如图2，线段即为所求；

图2
【小问3详解】
解：取格点F，连接，如图3，线段即为所求．

图3
22. 【发现问题】小明在数学活动课上学到一种特殊两位数“首同末合十”（十位数字相等，个位数字之和等于10）乘法的速算方法：
两个因数个位数字的积作为积的末两位（数位不足两位在该数字前面补0），十位数字×（十位数字+1）作为积的首两位，例如：．
【提出问题】爱思考小明想知道“末同首合十”（个位数字相等，十位数字之和等于10）的两位数是否也有类似的速算方法？
（1）【分析问题】小明任选了两组“末同首合十”的两位数．发现“末同首合十”的两位数的积的末两位还是两个因数个位数字的积，首两位是（十位数字的积+个位数字），请你利用小明发现的方法计算：__________；__________；
（2）【解决问题】小明想光用特例举证数量太多，以往学习中从特殊到一般的归纳方法常用字母来表示数，于是设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，
①试分别用含a，b的式子表示“末同首合十”的两个两位数__________，__________；
②请你帮小明用整式乘法的知识来解释“末同首合十”两位数乘法速算方法．
【答案】（1）2516；2125
（2）①，（答案不唯一）②（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式以及多项式乘多项式，理解题意是列代数式、计算结果的前提，用代数式表示符合条件的两个数以及计算它们的积并化成适当的形式是正确解答的关键．
（1）根据“末同首合十”的两位数的积的末两位还是两个因数个位数字的积，首两位是（十位数字的积十个位数字），计算即可．
（2）①写出个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数即可；
②利用两个数的十位数字、个位数字的关系，表示出这两个数，再计算它们的乘积，化成适当的形式即可．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
解：①设第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则
第一个两位数为：，第二个两位数为：．
②
，
即．
23. 台州市域铁路S1线（Taihu Suburban Railway S1 Line），即台州轨道交通S1线，是服务于浙江省台州市的一条城市轨道交通线路，S1线为南北走向市域线，连接临海东部新城、杜桥、椒北、椒江、路桥、温岭火车站、温岭市区和玉环，承担台州市区南北向客流需求，为沿线各组团之间提供快速、舒适的交通服务．轨道交通S1线全线长约为，第1站为台州火车站，第15站为城南站，途中设有13个站．
请解答下列问题：
（1）如果轻轨实际运行的平均时速是设计的最高平均时速的，结果从第1站到达第15站晚到了3.75分钟，求轻轨设计的最高平均时速；
（2）如果轻轨以设计的最高平均时速行驶于各站，且途中13个站每个站停留时间相同，那么每个站最多停留几秒，才能实现从椒江（台州火车站）出发，到达温岭（城南站）总用时不超过半小时？请说明理由．（结果精确到0.1秒）
【答案】（1）
（2）途中每个站最多停留34.6秒
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设轻轨设计的最高平均时速为，则轻轨实际运行的平均时速为．根据时间＝路程÷速度，以实际运行的时间-设计的时间=晚到的时间为等量关系，列出方程，求解即可；
（2）设途中每个站停留a小时，根据运行时间站点停留时间不超过半小时，即小于等于0.5小时，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设轻轨设计的最高平均时速为，则轻轨实际运行的平均时速为．
根据题意，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为：．
答：轻轨设计的最高平均时速为（或）．
【小问2详解】
解：设途中每个站停留a小时，根据题意，得
，
解得小时秒．
答：途中每个站最多停留34.6秒．
24. 如图1，中，，点E是BC边上一点，作，使且，边DE交边AB于点F．
（1）判断线段CE与BD的数量关系与位置关系；
（2）如图2，记的面积为S，的面积为，的面积为，的面积为，设，
①当时，求的值；
②试用含k式子表示的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1），见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等高三角形的面积关系．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由等腰直角 三我性质求得，再证明，得，，继而证明，即可得出结论．
（2）①由，，得出，再根据，得到，代入计算即可；
②由，，得出，再根据，得到，代入计算即可．
【小问1详解】
解：，．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
和中，
，
∴，
∴，，
∴
∴．
【小问2详解】
解：①，
∴，，
∴
∵
∴
∴，
∴；
②∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．