湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷（原卷及解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知，
故选：A.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.
【详解】由解得，所以.
故选：C.
3. 已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，则相交或平行或异面，所以A错误；
对于B中，由，根据线面垂直的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，则或，所以C错误；
对于D中，由，则或或或与相交，所以D错误.
故选：B.
4 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，即，
所以，所以.
故选：C.
5. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的数据即可得出答案.
【详解】由函数的数据可知，函数，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.
故选：A.
6. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ，互斥B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
故选：C.
7. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A. 499B. 500C. 501D. 502
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论.
【详解】由题意得：，其中，
，代入上式得：，
要方程无实数解，则，
显然第502个方程有解.
设方程与方程的判别式分别为，
则
，
等号成立的条件是，所以至多一个成立，
同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，
故选：D.
【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.
8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A. 中位数不变B. 平均数不变
C. 方差不变D. 第40百分位数不变
【答案】AD
【解析】
【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.
【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得原数据的第40百分位数是第4个数24.
将原数据去掉12和45，得，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得新数据的第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.
故选：AD.
10. 已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( )
A. 曲线y=f(x)关于直线对称B. 函数y=f()是奇函数
C. 函数y=f(x)在(,)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2]
【答案】ABD
【解析】
【分析】用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.
【详解】,所以函数的值域为,故D正确；
因为,所以,所以，
因,所以,所以，
所以,即，
所以，
因为，
所以曲线关于直线对称,故A正确；
因为
即，
所以函数是奇函数,故B正确；
取,则最小正周期,故C错误.
故选：ABD
11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 直线与所成的角为
B. 的周长最小值为
C. 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D. 如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B选项，把沿着展开与平面同一平面内，由余弦定理求出的最小值，得到周长的最小值；C选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.
【详解】A选项，连接，由于为的中点，

所以⊥，⊥，
又，平面，
所以直线⊥平面，又平面，
所以⊥，故A正确；
B选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点，
则的最小值即为的长，
由于，，

，
，
所以，
故，的周长最小值为，B错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，
则为的中心，点在上，过点作⊥于点，
因为，所以，同理，
则，
故，
设，故，
因为∽，所以，即，
解得，C正确；

D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，
设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体，
由C选项可知，其高为，
由C选项可知，是正四面体的高，过点且与平面交于，与平面交于，
则，，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体中，，，
正四面体高为，解得，D正确.

故选：ACD
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在二项式的展开式中，常数项为______．
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案.
【详解】，
因为的通项公式为，
所以在中，当时，不满足；
在中，当时，，则常数项为.
故答案为：．
13. 已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由线面角的定义得出，从而得出，再由导数求解即可.
【详解】设圆锥底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知.
圆锥的体积为
令，则，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
即，此时.
故答案为：；
14. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求．
【详解】由与都是集合的元素，
不妨设，
因，所以，
由已知，所以，则，
又，所以，即，
所以，
所以，，
则，即，
因为，所以，则，即.
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．
（2）若，求在区间上最大值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【小问1详解】
，
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
【小问2详解】
，令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
16. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，写出各向量即可根据向量法证明；
（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可求出正弦值.
【小问1详解】
因为，所以，所以在的投影数量为，
因为，所以，所以在的投影数量为，
以为原点建立如图所示的坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，
设面的法向量为，
所以，令，所以，
因为，不在面内，所以平面；
【小问2详解】
，所以，
设面的法向量，
因为，所以，
令，则，
设面的法向量，
因为，所以，
令，所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
（3）对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【小问1详解】
记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
于是由全概率公式，
得.
【小问2详解】
由已知得，
，
，
.
【小问3详解】
由（2）可得，即，
可猜想：,
证明如下：由条件概率及，
得，，
所以.
18. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示，即可求解的值.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
可得，所以，
又点在该椭圆上，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
证明：设，由于该直线斜率不为0，可设，
联立方程和，得，
恒成立，根据韦达定理可知，
，
，
，
，．
19. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
【答案】（1）8. （2）.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意即可写出a的一个值；
（2）由题意可知，，，，结合构成等比数列，可推出是完全平方数，继而可得，由此可知为，即可求得a；
（3）由题意知，，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.
【小问1详解】
当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数,即.
【小问2详解】
由题意可知，，，，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以,.
【小问3详解】
证明：由题意知，，
所以，
因为，
所以
，
因为，，所以，
所以，
即.
【点睛】关键点点睛：在第二问的解答中，在得到后，要能根据，推得，继而得出，这是解决问题的关键.第三问的证明中，难点在于要能注意到，，从而可得，然后采用裂项求和的方法进行化简进而证明结论.-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1