【讲通练透】重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破02 向量中的隐圆问题
目录
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
题型一：数量积隐圆
例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是
A．B．C．D．
变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.
题型二：平方和隐圆
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为_______．
变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．
例11．（2023·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
例12．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，则的最大值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，则的最大值是________