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苏科版九年级下册第7章 锐角函数7.1 正切学案
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这是一份苏科版九年级下册第7章 锐角函数7.1 正切学案，共33页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 正切
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
【微点拨】
(1)正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成，而不能写出.
(3)表示，而不能写成.
【即学即练1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答．
【详解】解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，
,
则在RT△ABD中，AD=5，BD=6，
∴，
故选A．
【即学即练2】在中，，，，，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等可得，进而根据即可求解．
【详解】，，
，
，
即，
，
解得，
故选C．
能力拓展
考法01 求角的正切值
【典例1】如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，根据圆周角定理知∠ACB=∠ADB，再由勾股定理知AD=AB=，继而得∠ACB=∠ADB=45°，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，
则∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝90°，
∵AD＝AB＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴的值为1，
故选：B．
考法02 已知正切值求边长
【典例2】如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
分层提分
题组A 基础过关练
1．在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理得出FG，再利用三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵∠G=90°，EG=6，EF=10，
∴FG==8，
∴tanE=．
故选：B．
2．在Rt△ABC中，，，，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出图形，结合图形，根据锐角的正切函数定义直接作答即可．
【详解】解：如图所示：
在Rt△ABC中，，，，
根据正切函数定义可得，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则∠B的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角的正切值的定义直接求解即可．
【详解】解：如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
故选：A．
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先求出的边长，判断出为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．
【详解】如图，根据网格可得，
，，，
则有，
故为直角三角形；
在中，．
故选B．
5．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
6．图，在平面直角坐标系中，以M（3，5）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则tan∠ACM的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为D，连接MD，过点C作CE⊥MD于点E，可知MD⊥x轴，从而AC∥MD，∠ACM=∠CME，根据M的坐标求出ME的长，利用正切的定义进行计算即可．
【详解】图，设切点为D，连接MD，过点C作CE⊥MD于点E，
∵AB为直径的圆与x轴相切，∴MD⊥x轴，
∴AC∥MD，
∴∠ACM=∠CME，
∵M（3，5）即MD=MC=5，OD=CE=3，
∴,
∴,
故选：C．
7．如图斜坡的坡比为，竖直高度为1米，则该斜坡的水平宽度为______米．
【答案】2
【分析】根据坡比的定义和正切三角函数计算求值即可；
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴tan∠A=，
∵BC=1米，
∴AC=2米，
故答案为：2；
8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC=_____m
【答案】50
【分析】根据正切三角函数计算求值即可．
【详解】解：由题意作图如下，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，
∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，
故答案为：50．
9．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么ctB的值为___________
【答案】
【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可．
【详解】解：如图，取点，连接，
，，
∴，
故答案为：．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=___．
【答案】9
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
题组B 能力提升练
1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，先求出AE，然后根据已知证得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，从而证得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入数据解答即可．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，
则在△ABE中，，
，
，
∵∠ABE＝∠ACD＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
，
即，
，
，
即BD的最大值为．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．4B．6C．8D．2
【答案】C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．
3．如图，点P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM∶OM＝4∶5，则tan＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正切函数定义可得tanα=即可得到答案．
【详解】解：∵PM⊥OA于M，且PM：OM=4：5，
∴tanα==，
故选：C．
4．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC=BD=a，由勾股定理解得a的值，后按照正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长是，小正方形的边长是，
设AC=BD=a，如图，
△ABD中，由勾股定理得：
a2+（5+a）2=125，
解得a=5或（舍去），
∴tanθ=．
故选：A．
5．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】B
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解．
【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵．
∴BD=2x，BC=3x，
∵．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵，
∴，．
∴BE=2AE，，
∴EF=AE=，
∴，
∴CD=DE，
∵经过点，且与外切，
∴的半径为x，
∵，即AC⊥BC，
∴与直线相切．
故选：B
6．如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）
①
②点E到的距离为3
③
④
【答案】①④
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④
【详解】解：∵
∴，故①正确；
如图，过点作于，于，
，
平分，
，
是的角平分线，
，
，
，故②不正确，
.将沿折叠使点C与点E恰好重合，
，
设，则，
中，，．
，
解得，
故③不正确，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①④
7．如图，在正方形和中，，连结、，则______．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，根据题意求得，即可求解．
【详解】连接，如图，
正方形和中，，
，，
，
．
故答案为：．
8．如图，四边形中，，若，则_______．
【答案】
【分析】由∠CBD=∠CAD=90°得到A、B、C、D四点共圆，CD为直径，取CD的中点O，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，设AB=x，则AE=，勾股定理求出BE，利用∠AEB=∠ACB，求∠AEB的正切函数值即可．
【详解】解：∵四边形中，∠CBD=∠CAD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴CD为直径，
取CD的中点O，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∴AE=CD，
∵，
∴设AB=x，则AE=，
∴，
∵∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB==，
故答案为：．
9．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若，，则AC的长为_________．
【答案】
【分析】利用作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质得到，由，则，可得出，所以，最后利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即．
故答案为：
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．
(1)求证：∠ACD＝∠ECD；
(2)连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．
【答案】(1)见详解；(2)
【分析】（1）先证明四边形BCED是平行四边形，得到BD=CE=AC，再利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）过点O作OF⊥AD于点F，求得AB=CD=1，AD=BC=DE=2，再求得OF =，EF =3，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠ACD=∠ECD；
（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2，
∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，
∴AD=2，
由（1）知四边形BCED是平行四边形，
∴AD=BC=DE=2，
∵OB=OD，OF⊥AD，
∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3，
∴OE=．
题组C 培优拔尖练
1．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得：，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选：D．
2．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且，将沿AE对折至．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，得到，求得，根据平行线的性质得到，求得不是等边三角形．
【详解】解：由翻折变换可知，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，因此①正确；
∴，
又∵，
∴，因此②正确；
由翻折变换可知，，由全等三角形可知，
设正方形的边长为a，，，则，，，
在中，由勾股定理得，，
即，解得，
即，
∴，因此③正确；
∴，
∴，
由三角形全等可得，，
又∵，
∴，
∴，因此④正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等边三角形，因此⑤不正确；
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连接CO，过点O作CO的垂线交CB的延长线于点D，下列说法：①∠AOC＝∠BOD；②tan∠ODB＝；③CD的最大值为10．其中正确的是( )
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据∠DOC=∠BOA=90°．可得∠AOC=∠BOD，故①正确；连接AB，根据圆周角定理可得∠C=∠OAB，从而得到∠ODB=∠OBA． 可得，故②正确；可得OD=2OC，由勾股定理可得，再由当OC为圆的直径时，CD取得最大值．求出AB，可得③正确，即可求解．
【详解】解：∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠DOC=∠BOA=90°．
∴∠DOB+∠BOC=∠BOC+∠COA=90°
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
连接AB，如图，
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠C+∠D=90°，∠OAB+∠OBA=90°．
∵∠C=∠OAB，
∴∠ODB=∠OBA．
∴，故②正确；
∵，
∴OD=2OC，
∴，
∵OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，
∴当OC为圆的直径时，CD取得最大值．
∵直径，
∴CD的最大值为，故③正确；
∴正确的结论为①②③．
故选：D
4．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，
∴tanθ=，
∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），
∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，
∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，
故选：D．
5．如图，矩形的边上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接EF，则=__
【答案】
【分析】过点E作于点M，证明，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出．
【详解】解：过点E作于点M，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
6．如图，在矩形中，交于，于，，则____________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，，，，可推导出，得出，可求出，从而得出，设，利用勾股定理可用的代数式表示出，从而得出和，然后在中，根据即可得到答案．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，都是直角三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，．点在内部，，且，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，根据三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的运用求解即可解答．
【详解】解：取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，
∵AB=AC，ADB=2ACB，
∴BAD+ABD=BAC，
∴ABD=DAC，
在和，
，
∴(SAS)，
∴BAD=ACH，BAC=BAD+DAC，
∴BAC=ACH+DAC，
又∵DHC=ACH+DAC，
∴DHC=BAC，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴AD=HC=2+，
∵，
∴，
解得：DC=4，
∴AD=5，
∴．
8．如图，将直径的半圆O，绕端点A逆时针旋转，当圆弧与直径交点H满足时，的值为______．
【答案】
【分析】根据已知设，，可表示出和的长，然后利用直径所对的圆周角是直角证明，最后利用勾股定理求出即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴设，，
∴，
由旋转得：，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，，
∴，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴．
10．如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆，刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若BD=8，tanB=，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径为3．
【分析】（1）连接AO，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，则可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定方法△ACD∽△BAD，由相似三角形的性质推出，求出DC=2，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵∠CAD=∠B．
∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，
∴△ACD∽△BAD，
∴，
∵tanB=，
∴，
∴，
∵BD=8，
∴，
∴AD=4，
∴CD=AD=×4=2，
∴BC=BD-CD=8-2=6，
∴⊙O的半径为3．课程标准
课标解读
1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2.了解计算一个锐角的正切值的方法。
借助于相似直角三角形的知识，了解直角三角形的一个锐角的大小与其对边与邻边的比值之间的对应关系，从而获得正切的概念。
目标导航
知识精讲
知识点01 正切
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
【微点拨】
(1)正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成，而不能写出.
(3)表示，而不能写成.
【即学即练1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答．
【详解】解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，
,
则在RT△ABD中，AD=5，BD=6，
∴，
故选A．
【即学即练2】在中，，，，，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等可得，进而根据即可求解．
【详解】，，
，
，
即，
，
解得，
故选C．
能力拓展
考法01 求角的正切值
【典例1】如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，根据圆周角定理知∠ACB=∠ADB，再由勾股定理知AD=AB=，继而得∠ACB=∠ADB=45°，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，
则∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝90°，
∵AD＝AB＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴的值为1，
故选：B．
考法02 已知正切值求边长
【典例2】如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
分层提分
题组A 基础过关练
1．在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理得出FG，再利用三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵∠G=90°，EG=6，EF=10，
∴FG==8，
∴tanE=．
故选：B．
2．在Rt△ABC中，，，，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出图形，结合图形，根据锐角的正切函数定义直接作答即可．
【详解】解：如图所示：
在Rt△ABC中，，，，
根据正切函数定义可得，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则∠B的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角的正切值的定义直接求解即可．
【详解】解：如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
故选：A．
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先求出的边长，判断出为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．
【详解】如图，根据网格可得，
，，，
则有，
故为直角三角形；
在中，．
故选B．
5．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
6．图，在平面直角坐标系中，以M（3，5）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则tan∠ACM的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为D，连接MD，过点C作CE⊥MD于点E，可知MD⊥x轴，从而AC∥MD，∠ACM=∠CME，根据M的坐标求出ME的长，利用正切的定义进行计算即可．
【详解】图，设切点为D，连接MD，过点C作CE⊥MD于点E，
∵AB为直径的圆与x轴相切，∴MD⊥x轴，
∴AC∥MD，
∴∠ACM=∠CME，
∵M（3，5）即MD=MC=5，OD=CE=3，
∴,
∴,
故选：C．
7．如图斜坡的坡比为，竖直高度为1米，则该斜坡的水平宽度为______米．
【答案】2
【分析】根据坡比的定义和正切三角函数计算求值即可；
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴tan∠A=，
∵BC=1米，
∴AC=2米，
故答案为：2；
8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC=_____m
【答案】50
【分析】根据正切三角函数计算求值即可．
【详解】解：由题意作图如下，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，
∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，
故答案为：50．
9．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么ctB的值为___________
【答案】
【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可．
【详解】解：如图，取点，连接，
，，
∴，
故答案为：．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=___．
【答案】9
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
题组B 能力提升练
1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，先求出AE，然后根据已知证得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，从而证得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入数据解答即可．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，
则在△ABE中，，
，
，
∵∠ABE＝∠ACD＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
，
即，
，
，
即BD的最大值为．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．4B．6C．8D．2
【答案】C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．
3．如图，点P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM∶OM＝4∶5，则tan＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正切函数定义可得tanα=即可得到答案．
【详解】解：∵PM⊥OA于M，且PM：OM=4：5，
∴tanα==，
故选：C．
4．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC=BD=a，由勾股定理解得a的值，后按照正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长是，小正方形的边长是，
设AC=BD=a，如图，
△ABD中，由勾股定理得：
a2+（5+a）2=125，
解得a=5或（舍去），
∴tanθ=．
故选：A．
5．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】B
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解．
【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵．
∴BD=2x，BC=3x，
∵．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵，
∴，．
∴BE=2AE，，
∴EF=AE=，
∴，
∴CD=DE，
∵经过点，且与外切，
∴的半径为x，
∵，即AC⊥BC，
∴与直线相切．
故选：B
6．如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）
①
②点E到的距离为3
③
④
【答案】①④
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④
【详解】解：∵
∴，故①正确；
如图，过点作于，于，
，
平分，
，
是的角平分线，
，
，
，故②不正确，
.将沿折叠使点C与点E恰好重合，
，
设，则，
中，，．
，
解得，
故③不正确，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①④
7．如图，在正方形和中，，连结、，则______．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，根据题意求得，即可求解．
【详解】连接，如图，
正方形和中，，
，，
，
．
故答案为：．
8．如图，四边形中，，若，则_______．
【答案】
【分析】由∠CBD=∠CAD=90°得到A、B、C、D四点共圆，CD为直径，取CD的中点O，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，设AB=x，则AE=，勾股定理求出BE，利用∠AEB=∠ACB，求∠AEB的正切函数值即可．
【详解】解：∵四边形中，∠CBD=∠CAD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴CD为直径，
取CD的中点O，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∴AE=CD，
∵，
∴设AB=x，则AE=，
∴，
∵∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB==，
故答案为：．
9．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若，，则AC的长为_________．
【答案】
【分析】利用作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质得到，由，则，可得出，所以，最后利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即．
故答案为：
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．
(1)求证：∠ACD＝∠ECD；
(2)连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．
【答案】(1)见详解；(2)
【分析】（1）先证明四边形BCED是平行四边形，得到BD=CE=AC，再利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）过点O作OF⊥AD于点F，求得AB=CD=1，AD=BC=DE=2，再求得OF =，EF =3，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠ACD=∠ECD；
（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2，
∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，
∴AD=2，
由（1）知四边形BCED是平行四边形，
∴AD=BC=DE=2，
∵OB=OD，OF⊥AD，
∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3，
∴OE=．
题组C 培优拔尖练
1．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得：，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选：D．
2．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且，将沿AE对折至．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，得到，求得，根据平行线的性质得到，求得不是等边三角形．
【详解】解：由翻折变换可知，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，因此①正确；
∴，
又∵，
∴，因此②正确；
由翻折变换可知，，由全等三角形可知，
设正方形的边长为a，，，则，，，
在中，由勾股定理得，，
即，解得，
即，
∴，因此③正确；
∴，
∴，
由三角形全等可得，，
又∵，
∴，
∴，因此④正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等边三角形，因此⑤不正确；
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连接CO，过点O作CO的垂线交CB的延长线于点D，下列说法：①∠AOC＝∠BOD；②tan∠ODB＝；③CD的最大值为10．其中正确的是( )
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据∠DOC=∠BOA=90°．可得∠AOC=∠BOD，故①正确；连接AB，根据圆周角定理可得∠C=∠OAB，从而得到∠ODB=∠OBA． 可得，故②正确；可得OD=2OC，由勾股定理可得，再由当OC为圆的直径时，CD取得最大值．求出AB，可得③正确，即可求解．
【详解】解：∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠DOC=∠BOA=90°．
∴∠DOB+∠BOC=∠BOC+∠COA=90°
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
连接AB，如图，
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠C+∠D=90°，∠OAB+∠OBA=90°．
∵∠C=∠OAB，
∴∠ODB=∠OBA．
∴，故②正确；
∵，
∴OD=2OC，
∴，
∵OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，
∴当OC为圆的直径时，CD取得最大值．
∵直径，
∴CD的最大值为，故③正确；
∴正确的结论为①②③．
故选：D
4．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，
∴tanθ=，
∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），
∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，
∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，
故选：D．
5．如图，矩形的边上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接EF，则=__
【答案】
【分析】过点E作于点M，证明，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出．
【详解】解：过点E作于点M，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
6．如图，在矩形中，交于，于，，则____________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，，，，可推导出，得出，可求出，从而得出，设，利用勾股定理可用的代数式表示出，从而得出和，然后在中，根据即可得到答案．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，都是直角三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，．点在内部，，且，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，根据三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的运用求解即可解答．
【详解】解：取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，
∵AB=AC，ADB=2ACB，
∴BAD+ABD=BAC，
∴ABD=DAC，
在和，
，
∴(SAS)，
∴BAD=ACH，BAC=BAD+DAC，
∴BAC=ACH+DAC，
又∵DHC=ACH+DAC，
∴DHC=BAC，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴AD=HC=2+，
∵，
∴，
解得：DC=4，
∴AD=5，
∴．
8．如图，将直径的半圆O，绕端点A逆时针旋转，当圆弧与直径交点H满足时，的值为______．
【答案】
【分析】根据已知设，，可表示出和的长，然后利用直径所对的圆周角是直角证明，最后利用勾股定理求出即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴设，，
∴，
由旋转得：，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，，
∴，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴．
10．如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆，刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若BD=8，tanB=，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径为3．
【分析】（1）连接AO，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，则可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定方法△ACD∽△BAD，由相似三角形的性质推出，求出DC=2，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵∠CAD=∠B．
∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，
∴△ACD∽△BAD，
∴，
∵tanB=，
∴，
∴，
∵BD=8，
∴，
∴AD=4，
∴CD=AD=×4=2，
∴BC=BD-CD=8-2=6，
∴⊙O的半径为3．课程标准
课标解读
1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2.了解计算一个锐角的正切值的方法。
借助于相似直角三角形的知识，了解直角三角形的一个锐角的大小与其对边与邻边的比值之间的对应关系，从而获得正切的概念。
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