安徽省合肥市第十中学2023-2024学年高一上学期第二次学业绿色质量评价数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2. 角的终边落在第几象限（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】将转化为终边相同的角的形式，由此确定正确答案.
【详解】，所以角的终边落在第三象限.
故选：C
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用换元法将已知条件化简；再利用诱导公式即可求解.
【详解】令，
则，，
则.
故选：A.
5. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】∵，，，
∴（当且仅当即，时取“=”）.
故选：C
6. 已知集合，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合之间的包含关系判断即可.
【详解】，
，
表示3的整数倍加1，表示全体整数，
所以可以推出，不可以推出，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
8. 设为正数，且，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对等式取对数，可得到类似式子，进而得出，可判断出，同理比较与的大小即可.
详解】由于，取常用对数得：，
则，同时由于对数函数在定义域上是增函数，
进而，所以；
同理，进而，所以；
所以，
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，则以下命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可.
详解】对于A：,故A错误.
对于B：,故B正确.
对于C：,故C错误.
对于D;,故D正确.
故选：BD.
10. 下列命题不正确的有（ ）
A. 函数在其定义域上是增函数
B. 函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到
C. 函数是奇函数
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，求出定义域，故在定义域上不单调递增；B选项，由左加右减得到B正确；C选项，求出定义域，定义域不关于原点对称，不是奇函数；D选项，设，得到，比较出大小关系.
【详解】A选项，的定义域为，
的单调递增区间为，在定义域上不单调递增，A说法错误；
B选项，的图象向右平移2个单位得到，B说法正确；
C选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，
故不是奇函数，C说法错误；
D选项，设，则，
由于，故，即，D说法正确.
故选：AC
11. 已知的定义域为，值域为，则（ ）
A. 若，则
B. 对任意，使得
C. 对任意的图象恒过一定点
D. 若在上单调递减，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C ，根据，求解即可.对于D ,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得.
【详解】对于A，要使定义域为R，只需恒成立，
所以判别式，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A对
对于B，若，
即，整理得，得，
此时，故B错；
对于C，，因为与m无关，所以过定点（1,2),故C正确；
对于D，若在上单调递减，只需函数在上递减，且，即，解得，故D对.
故选：ACD
12. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A. f(x)是偶函数`B. f(x)在区间单调递增
C. f(x)在[－π，π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. __________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据诱导公式以及特殊角三角函数值得结果.
详解：
点睛：本题考查诱导公式，考查基本求解能力.
14. 函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再根据单调性求值域即可.
【详解】因为，
所以.
所以函数的值域为：
故答案为：
15. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的定义域可得，解此不等式即得结果.
【详解】由题知，即，解得，，
函数的定义域为.
故答案为：.
16. 已知，函数，若，则________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，代入即可逐层求解.
【详解】，所以，
所以，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
17. 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.
（1）若，，求扇形的弧长l；
（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据弧长公式计算可得；
（2）根据扇形的弧长公式和面积公式可以直接求值．
【详解】解：（1），
.
（2）由已知得，，所以，所以当时，取得最大值25，此时，.
【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于基础题．
18. 设集合．
（1）若，求；
（2）“是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式可得，，将代入即可求得的结果；
（2）依题意可知，解不等式即可求得实数m的取值范围为.
【小问1详解】
由可得，
即，
由可得；
当时，可得，
所以；
【小问2详解】
由“是“”的充分不必要条件可得，
需满足，解得，
显然两端等号不会同时成立，
即可知实数m的取值范围为.
19. 已知．
（1）化简，并求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式分析运算即可；
（2）由题意可得，结合同角三角关系分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，，
所以.
【小问2详解】
因为，
则，
又因为，
则，可得，
所以.
20. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质，结合（1）的结论进行求解即可.
【小问1详解】
令，，得，，
所以的单调递增区间为．
令，，得，，
所以的单调递减区间为，
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
故在上的最大值为，最小值为，
在上的最大值为，最小值为．
所以在上的最大值为2，最小值为－2，
即在上的值域为．
21. 已知幂函数为偶函数，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可得解；
（2）首先得到的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；
【小问1详解】
解：因为为幂函数，
所以，解得或
因为为偶函数，
所以，故的解析式；
【小问2详解】
解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
22. 定义在上的函数满足：对任意的，，都有：.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）令得，再令即可证明.
（2）根据定义结合已知证明.
（3）转化为，再变换主次元考虑.
【详解】（1）证明：令得：
设任意，则，
，即，
∴函数是奇函数；
（2）设，则，
由知：，且，
所以，即，
∴，又
即，从而，
即，，
所以在上是减函数；
（3）由（2）函数在上是减函数，
则当时，函数 的最大值为，
若对所有恒成立，
则等价为 对恒成立，即，
设，
∴，即，解得或
【方法点睛】多变量不等式恒成立问题处理：
①按照题意分清主次元，确定降元次序；
②考察指定元所对应的函数关系；
③由特定元的范围，建立不等式（组）.