安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试卷（Word版附解析）

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数学
考生注意：
1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部是（ ）.
A. B. C. 8D.
3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D.
4. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
6. ，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A. 24B. 120C. 48D. 60
7. 若系列椭圆（，）的离心率，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A. 499B. 500C. 501D. 502
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A. 中位数不变B. 平均数不变
C. 方差不变D. 第40百分位数不变
10. 双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（ ）
A. 存在直线，使得
B. 在运动的过程中，始终有
C. 若直线的方程为，存在，使得取到最大值
D. 若直线的方程为，，则双曲线的离心率为
11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 直线与所成的角为
B. 的周长最小值为
C. 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D. 如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 小于300的所有末尾是1的三位数的和等于______．
13. 已知函数，若恒成立，则__________.
14. 已知抛物线，点为抛物线上的动点，点与点的距离的最小值为2，则__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 在中，对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知点在线段上，且，求长.
16. 甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
17. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点.
（1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
（2）设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1）当时，探究零点的个数；
（2）当时，证明：.
19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；