人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就精练

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1．“嫦娥四号”是人类历史上首次在月球背面软着陆的勘测器．假定测得月球表面物体自由落体的加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转的周期T，引力常量为G.根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了，月球质量M为( )
A．M＝ eq \f(GR2,g)B．M＝ eq \f(gR2,G)
C．M＝ eq \f(4π2R3,GT2)D．M＝ eq \f(T2R3,4π2G)
【答案】B 【解析】在月球表面物体受到的万有引力大小等于重力，根据 eq \f(GMm,R2)＝mg，知M＝ eq \f(gR2,G)，故A错误，B正确；月球绕地球运动的周期为T，中心天体是地球，所以求不出月球的质量，故C、D错误．
2．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳万有引力的作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1 B． eq \f(m2r1,m1r2)
C． eq \f(m1r2,m2r1)D． eq \f(r eq \\al(2,2),r eq \\al(2,1))
【答案】D 【解析】行星绕太阳做匀速圆周运动，设M为太阳质量，m为行星质量，r为轨道半径，则G eq \f(Mm,r2)＝ma向，a向∝ eq \f(1,r2)，所以 eq \f(a1,a2)＝ eq \f(r eq \\al(2,2),r eq \\al(2,1))，故D正确．
3．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
【答案】B 【解析】由G eq \f(Mm,r2)＝mrω2＝m eq \f(v2,r)＝mr eq \f(4π2,T2)＝ma，得v＝ eq \r(\f(GM,r))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，a＝ eq \f(GM,r2).由于r天>r神，所以v天T神，a天4．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量的量可以有(已知引力常量为G)( )
A．木星绕太阳公转的周期和轨道半径
B．木星绕太阳公转的周期和环绕速度
C．卫星绕木星公转的周期和木星的半径
D．卫星绕木星公转的周期和轨道半径
【答案】D 【解析】根据万有引力提供圆周运动的向心力可知G eq \f(mM,r2)＝ma，根据表达式可以求出中心天体的质量．木星绕太阳公转的周期和轨道半径可以计算中心天体太阳的质量，因为木星是环绕天体，故不能计算木星的质量，故A、B错误；卫星绕木星公转的周期和木星的半径，已知木星的半径但不知道卫星轨道半径就不能求出卫星的向心力，故不能求出中心天体木星的质量，故C错误；卫星绕木星公转的周期和轨道半径，根据G eq \f(mM,r2)＝mr eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)，已知T和r可以求出木星的质量，故D正确．
5．(2023年广州从化中学期末)“天问一号”火星探测器是中国首颗人造火星卫星．如图是“天问一号”拍摄的火星表面照片．已知地球与火星的质量之比为p，半径之比为q.将地球及火星均视为均匀球体，不计地球、火星的自转，则地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为( )
A． eq \f(p,q)B． eq \f(p,q2)
C． eq \f(q,p)D． eq \f(p2,q)
【答案】B 【解析】将星球视为均匀球体且不计星球自转，则有G eq \f(Mm,R2)＝mg，可得该星球表面重力加速度为g＝G eq \f(M,R2)，已知地球与火星的质量之比为p，半径之比为q，则地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为 eq \f(g地,g火)＝ eq \f(G\f(M地,R eq \\al(2,地)),G\f(M火,R eq \\al(2,火)))＝ eq \f(M地R eq \\al(2,火),M火R eq \\al(2,地))＝ eq \f(p,q2).
6．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.假设地球是一个均匀球体，那么仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球表面的重力加速度
D．地球的密度
【答案】B 【解析】万有引力提供环绕天体的向心力，此式只能计算中心天体的质量，故B正确．
7．(2023年江门外海中学期中)某星球的质量约为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为60 m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？
解：平抛运动水平位移x＝v0t，
竖直位移h＝ eq \f(1,2)gt2，
解以上两式得x＝v0 eq \r(\f(2h,g))，
由重力等于万有引力mg＝G eq \f(Mm,R2)，
得g＝ eq \f(GM,R2)，
所以 eq \f(g星,g地)＝ eq \f(M星,M地) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R地,R星))) eq \s\up12(2)＝9× eq \f(4,1)＝36， eq \f(x星,x地)＝ eq \r(\f(g地,g星))＝ eq \f(1,6)，x星＝ eq \f(1,6)x地＝10 m．
B组·能力提升
8．(多选)(2023年清远质检)已知我国太空站的“天和”核心舱距地球的高度为h，绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，地球的半径为R，引力常量为G，把地球看成质量分布均匀的球体，球体的体积公式V＝ eq \f(4πr3,3)(r为球体的半径)，不考虑地球自转的影响．下列说法正确的是( )
A．地球的质量为 eq \f(v2(R＋h),G)
B．核心舱转动的角速度为 eq \f(v,R)
C．地球表面的重力加速度大小为 eq \f(G,(R＋h)2)
D．地球的密度为 eq \f(3v2(R＋h),4πGR3)
【答案】AD 【解析】设地球的质量为M，核心舱的质量为m，根据万有引力提供向心力有 eq \f(GMm,(R＋h)2)＝m eq \f(v2,R＋h)；可得M＝ eq \f(v2(R＋h),G)，由公式M＝ρV可得，地球的密度为ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(3v2(R＋h),4πGR3)，故A、D正确；根据公式v＝ωr可得，核心舱转动的角速度为ω＝ eq \f(v,r)＝ eq \f(v,R＋h)，故B错误；根据题意，设地球表面物体的质量为m1，由万有引力等于重力有 eq \f(GMm1,R2)＝m1g，又有M＝ eq \f(v2(R＋h),G)，可得g＝ eq \f(v2(R＋h),R2)，故C错误．
9．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径是( )
A． eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g0－g))T2,4π2) B． eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g0＋g))T2,4π2)
C． eq \f(g0T2,4π2) D． eq \f(gT2,4π2)
【答案】A 【解析】在两极，重力等于万有引力mg0＝G eq \f(Mm,R2)，在赤道，万有引力大小等于重力和随地球自转的向心力之和G eq \f(Mm,R2)＝mg＋mR· eq \f(4π2,T2)，联立可得地球半径为R＝ eq \f((g0－g)T2,4π2)，A正确，B、C、D错误．
10．“嫦娥五号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ (弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A． eq \f(l3,Gθt2)B． eq \f(l3θ,Gt2)
C． eq \f(l,Gθt2)D． eq \f(l2,Gθt2)
【答案】A 【解析】线速度为v＝ eq \f(l,t)，角速度为ω＝ eq \f(θ,t)，根据线速度和角速度的关系公式，有v＝ωr，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 eq \f(GMm,r2)＝mωv，联立解得M＝ eq \f(l3,Gθt2)，A正确．
11．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，登陆舱的质量为m2，则( )
A．该星球的质量为M＝ eq \f(4π2r1,GT eq \\al(2,1))
B．该星球表面的重力加速度为g1＝ eq \f(4π2r1,T eq \\al(2,1))
C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动时的速度大小之比为 eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(m1r2,m2r1))
D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 eq \r(\f(r eq \\al(3,2),r eq \\al(3,1)))
【答案】D 【解析】研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式 eq \f(GMm1,r eq \\al(2,1))＝m1 eq \f(4π2,T eq \\al(2,1))r1，得出该星球的质量为M＝ eq \f(4π2r eq \\al(3,1),GT eq \\al(2,1))，故A错误；根据圆周运动知识，a＝ eq \f(4πr eq \\al(2,1),T eq \\al(2,1))只能表示在半径为r1的圆轨道上的向心加速度，而不等于该星球表面的重力加速度，故B错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力在半径为r的圆轨道上运动 eq \f(GMm,R2)＝ eq \f(mv2,R)，得出v＝ eq \r(\f(GM,R))，表达式里M为中心天体星球的质量，R为运动的轨道半径，所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为 eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(r2,r1))，C错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，在半径为R的圆轨道上运动，列出等式 eq \f(GMm,R2)＝ eq \f(m4π2R,T2)，得出T＝2π eq \r(\f(R3,GM))，表达式里M为中心天体的质量，R为运动的轨道半径．所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的周期大小之比为 eq \f(T1,T2)＝ eq \r(\f(r eq \\al(3,1),r eq \\al(3,2)))，所以T2＝T1 eq \r(\f(r eq \\al(3,2),r eq \\al(3,1)))，D正确．
12．(2023年珠海学业质检)一探测器在某个球形行星的近地轨道上绕行星做匀速圆周运动，绕行两圈所需的时间为t.在行星表面用弹簧秤测量质量为m的物体的重力，弹簧秤示数为F.已知万有引力常量为G，不计行星自转的影响，球形行星的体积公式为V＝ eq \f(4,3)πR3(其中R为行星的半径且未知)，求：
(1)该行星的平均密度；
(2)行星的半径．
解：(1)探测器周期为T＝ eq \f(t,2)，设行星质量为M，半径为R，探测器质量为m1，
由 eq \f(GMm1,R2)＝m1( eq \f(2π,T))2R，且体积V＝ eq \f(4,3)πR3，
则密度ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(12π,Gt2).
(2)由F＝ eq \f(GMm,R2)，
解得行星的半径R＝ eq \f(Ft2,16mπ2).