江西省部分学校2023届高三下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)

这是一份江西省部分学校2023届高三下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．青少年近视情况日益严重,为了解情况,现从某校抽取部分学生,用对数视力表检查视力情况,A组和B组数据结果用茎叶图记录(如图所示),其中茎表示个位数,叶表示十分位数.对于这两组数据,下列结论正确的是( )
A.两组数据的中位数相等B.两组数据的极差相等
C.两组数据的平均数相等D.两组数据的众数相等
3．在四面体ABCD中,为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则( )
A.AB与CD可能垂直B.A在平面BCD内的射影可能是B
C.AB与CD不可能垂直D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
4．若是定义在R上的奇函数,则下列函数是奇函数的是( )
A.B.C.D.
5．设圆与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
6．已知随机变量X的分布列为
若t在内变化,当X的数学期望取得最小值时,( )
A.B.
7．若一个等比数列的首项为,公比为2,S是该等比数列前10项之和,是该等比数列前10项的倒数之和,则( )
A.16B.32C.64D.128
8．已知函数的图象在原点O处的切线与在点处的切线的交点为P,则( )
A.2B.C.D.
9．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“”是“1为锐角三角形”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10．已知A,B,C为椭圆D上的三点,AB为长轴,,,,则D的离心率是( )
A.B.C.D.
11．定义在上的函数,的导函数都存在,且,则必有( )
A.B.
C.D.
12．已知数列共有m项,,,且当,时,.当项数m的最大值为220时,常数p的值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．写出一个满足下列两个条件的复数:______.①的实部为5;
②z的虚部不为0.
14．已知两个单位向量,满足与垂直,则_______.
15．如图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关1次,将导致自身和所有相邻(上,下相邻或左,右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如:先按,再按),则和的最终状态都未发生改变的概率为______.
16．将3个的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开,每个正方形均分成两个部分,如图（1）所示,将这6个部分接于一个边长为的正六边形上,如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起,围成一个七面体,则该七面体的体积为_______;若在该七面体内放置一个小球,则小球半径的最大值为_______cm.
三、解答题
17．如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G分别为,,的中点.
（1）过BG作该正方体的截面,使得该截面与平面平行,写出作法,并说明理由;
（2）求直线DE与平面所成角的正弦值.
18．已知函数在上单调递减.
（1）求的最大值;
（2）若的图象关于点中心对称,且在上的值域为,求m的取值范围.
19．2022年12月份以来,全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券,助力消费复苏.记发放的消费券额度为x(百万元),带动的消费为y(百万元).某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.
（1）根据表中的数据,请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系,并求出y关于x的线性回归方程.
（2）(i)若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券,利用（1）中求得的线性回归方程,预计可以带动多少消费?
(ii)当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时,认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后,经过一个月的统计,发现实际带动的消费为30百万元,请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想?若不理想,请分析可能存在的原因.
参考公式:,,.当时,两个变量之间具有很强的线性相关关系.
参考数据:.
20．已知函数.
（1）求的最小值.
（2）若,且.证明:
(i);
(ii).
21．已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,且焦点到渐近线的距离为.
（1）求C的方程;
（2）若C上有两点P,Q满足,证明:是定值.
22．在极坐标系中,圆C的圆心在极轴上,半径为2,且圆C经过极点.
（1）求圆C的极坐标方程;
（2）若P为圆C上的动点,过P作直线,的垂线,垂足分别为A,B,求面积的最大值.
23．已知函数.
（1）若,,证明:.
（2）记集合,,试判断A与B的关系,并说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析:由解得,所以,
由得,解得或,
所以,所以.
故选:D
2．答案：C
解析:A组数据按从小到大排列为:4.0,4.4,4.6,4.6,4.6,4.7,4.8,5.0,5.1,5.2,
B组数据按从小到大排列为:4.2,4.4,4.4,4.5,4.8,4.8,4.8,4.9,5.0,5.2,
所以A组数据的中位数为,B组数据的中位数为,
故两组数据的中位数不相等,故A错误;
A两组数据的极差为,B组数据的极差为,故两组数据的极差不相等,故B错误;
A组数据的平均数为,
B组数据的平均数为,
故两组数据的平均数相等,故C正确;
A组数据的众数为4.6,B组数据的众数为4.8,故两组数据的众数不相等,故D错误.
故选:C.
3．答案：A
解析:当四面体ABCD为正四面体时,
如图所示,A在平面BCD上的射影为,即平面BCD,
由于平面BCD,所以.
延长BO交CD于F,则,
由于,AO,平面ABO,所以平面ABO,
由于平面ABO,所以.
所以A正确,C错误.
若A在平面BCD内的射影是B,则AB与平面BCD垂直,与已知矛盾,B错误.
平面ABC与平面BCD可能垂直,D错误.
故选:A
4．答案：C
解析:依题意,是定义在R上的奇函数,,
A选项,对于函数,
,所以函数不是奇函数.
B选项,对于函数,
,所以函数不是奇函数.
C选项,对于函数,
,所以函数是奇函数.
D选项,对于函数,
,所以函数不是奇函数.
故选:C
5．答案：A
解析:因为圆与轴交于A,B两点(A在B的上方),
所以,,
又因为过B作圆O的切线l,
所以切线l的方程为,
因为动点P到A的距离等于P到l的距离,
所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为,准线为,
所以P的轨迹方程为.
故选:A.
6．答案：B
解析:,
故当时,X的数学期望取得最小值.
故选:B
7．答案：B
解析:依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列,且其首项为4,公比为.
故.
故选:B
8．答案：A
解析:由,可得,,则曲线在点O处的切线的倾斜角为,设曲线在点A处的切线的倾斜角为,则.
由图可知,.
故选:A
9．答案：C
解析:若,
则,
假设为钝角三角形,
则由余弦定理得,,这三个代数式中有两个为正,一个为负,
可得,
这与题设矛盾,因此不为钝角三角形,
假设为直角三角形,
则由余弦定理得,,这三个代数式中有两个为正,一个为零,
可得,
假设为锐角三角形,
则由余弦定理得,,这三个代数式都为正,
可得,
所以为锐角三角形,
若为锐角三角形,则,,这三个代数式均为正,
所以,
故“”是“为锐角三角形”的充要条件.
故选:C.
10．答案：D
解析:设椭圆D的方程为,
如图,点C的横坐标为,纵坐标为,
因为,所以,
将点C的坐标代入,得,解得,
故.
故选:D
11．答案：A
解析:由题意,,
由,得.
设函数,,则,
在上单调递增,从而.
即,即.
故选:A.
12．答案：C
解析:当时,,
当项数m最大时,,则,
,
将以上各式相加得,
即.
因为m的最大值为220,所以,
解得.
故选:C
13．答案：(答案不唯一)
解析:设,则,
依题意可得,.
故可取,,.
故答案为:(答案不唯一)
14．答案：
解析:依题意可得,
,是两个单位向量,则,,
则.
故答案为:
15．答案：
解析:要使得的状态发生改变,则需要按,,,,这五个开关中的一个,要使得的状态发生改变,则需要按,,这三个开关中的一个,
所以要使得和的最终状态都未发生改变,
则需按其他八个开关中的两个或,,,,中的两个或,,中的两个,故所求概率为.
故答案为:
16．答案：108,
解析:将平面图形折叠并补形得到如图3所示的正方体,
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分,
易得其体积为正方体体积的一半,即.
当小球为该七面体的内切球时,半径最大,此球亦为正三棱锥的内切球,,
设O为中心,则,高,
设正三棱锥A－BCD的内切球的半径为rcm,
则①
在中,,,得,
,代入①,得.
故答案为:108;.
17．答案：（1）作法见解析,理由见解析
（2）
解析:（1）取的中点H,连接,,BH,GH,
即截面为要求作的截面.
理由如下:
因为E,F分别为,的中点,所以,
又平面,平面,所以平面.
在正方形中,因为G为的中点,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
由于平面,平面,
所以平面.
又,,平面,
所以平面平面.
连接,易证,,则,
所以,B,H,G四点共面,从而截面为要求作的截面.
（2）如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,.
设平面的法向量为,则,
令,得,
所以.
故直线DE与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析:（1）由条件知,则,
由正弦函数的性质可知:,,,,
又有,,
当时,符合题意;
当时,不等式,舍去,
所以的最大值为.
（2）因为的图象关于点中心对称,所以.
即,
由（1）得:,所以,则,
当时,,
因为在上的值域为,所以,
则,解得,
所以m的取值范围是.
19．答案：（1）具有很强的线性相关关系,
（2）(i)3525百万元
(ii)不理想,理由见解析,答案不唯一
解析:（1）,
,
,
,
代入公式可得相关系数.
由于且r非常接近1,所以y与x具有很强的线性相关关系.
经计算可得,
.
所以所求线性回归方程为.
（2）(i)当时,,所以预计能带动的消费达35.25百万元.
(ii)因为,所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.
发放消费券只是影响消费的其中一个因素,还有其他重要因素,
比如:A城市经济发展水平不高,居民的收入水平直接影响了居民的消费水平;
A城市人口数量有限,商品价格水平,消费者偏好,消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.
20．答案：（1）7
（2）(i)证明见解析;
(ii)证明见解析
解析:（1）.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以.
（2）(i)由（1）可知,
,
因为,所以,,
则,所以.
(ii)由得,
要证,只需证,只需证,
即证.
令函数,
则,
所以
,
因为,
所以,在上单调递减.
所以,则,故.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析:（1）设C的方程为,
不妨设右焦点为,渐近线方程为.
右焦点到渐近线距离.
因为C为等轴双曲线,所以.
所以C的方程为.
（2）设,.
由,得,
且,,
所以,
则,
即,
平方后得,
等式两边同时除以,
得,
即,即.
所以是定值,且该定值为.
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）如图,设为圆C上一点,O为极点,ON为圆C的直径,
连接OM,MN,则,
则.
故圆C的极坐标方程为.
（2）极坐标中的直线,对应的直角坐标方程为,.
因为圆C的直角坐标方程为,设,
所以,,
则的面积;
设,则,
当时,S取得最大值.
23．答案：（1）证明见解析;
（2）,理由见解析.
解析:（1）当时,,当且仅当,即时取等号,
而,所以.
（2）依题意,,,
不等式化为:或或,
解得,解得,解得,
因此,
由,得,解得,
因此,
所以.
X
t
6
P
0.3
0.2
0.2
0.3
x
3
3
4
5
5
6
6
8
y
10
12
13
18
19
21
24
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