柳州市第三中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份柳州市第三中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．在平行四边形中,( )
A.B.C.D.
3．下列说法中正确的是( )
A.空间三点可以确定一个平面
B.梯形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面内,又在平面内,则平面和平面重合
D.两组对边都相等的四边形是平面图形
4．某新闻机构想了解全国人民对《长津湖之水门桥》的评价,决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为,且人口最少的一个区抽出100人,则这个样本的容量为( )
A.550B.500C.450D.400
5．将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则( )
A.B.C.D.
6．在四棱锥中,已知底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是( )

A.平面平面PADB.平面平面PBC
C.平面平面PCD
D.平面平面PAD
7．蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年（1621年）,为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得米,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和30°,,则蜚英塔的高度CD是( )
A.25米B.米C.30米D.米
8．已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2,母线与底面所成的角为60°,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,则( )
A.平均数为3B.标准差为
C.众数为2和3D.第85百分位数为4.5
10．下列表达式中,正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知事件A,B,且,,则下列结论正确的是( )
A.如果,那么,
B.如果A与B互斥,那么,
C. 如果A与B相互独立,那么,
D. 如果A与B相互独立,那么,
12．如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为BC,,的中点,则( )
A.直线与直线DC所成角的正切值为
B.直线与平面AEF不平行
C.点C与点G到平面AEF的距离相等
D.平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题
13．写出一个模为的非纯虚数__________．
14．已知三个互不重合的平面,,,且直线m,n不重合,由下列条件：①,;②,;③,,;能推得的条件是__________．
15．已知向量,不共线,若向量与向量共线,则m的值为____________.
16．已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为,则该四棱锥外接球的表面积为_____________．
四、解答题
17．已知,.
（1）若,求的坐标;
（2）若,求与的夹角.
18．某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛,成绩统计如下图所示．
（1）求a的值,并估计该市参加考试的3000名市民中,成绩在上的人数;
（2）若在本次考试中前1500名参加复赛,则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．
19．已知函数．
（1）求函数的单调增区间;
（2）求在区间上的最小值．
20．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下：
（1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1,求m,n;
（2）在（1）的条件下,从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
21．在中,设角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知．
（1）求角B的值;
（2）若为锐角三角形,且,求的面积S的取值范围．
22．如图,四棱柱中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,E为中点,.
（1）求证：平面;
（2）求三棱锥的体积;
（3）在上是否存在点M,满足平面？若存在,求出AM的长;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：,
则,
故在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A．
2．答案：C
解析：连接AC,BD相交于点O,则
故选：C.
3．答案：B
解析：对于A,当三个点在同一直线上时,不能确定一个平面,故A不正确;
对于B,梯形是一组对边平行且不相等,因此一定是平面图形,故B正确;
对于C,当A,B,C,D在一条直线上时,平面和平面也可能相交,故C不正确;
对于D,当四边形的对边所在直线是异面直线时,四边形不是平面图形,故D不正确,
故选：B．
4．答案：C
解析：设这个样本的容量为n,则,解得.
故选：C.
5．答案：A
解析：．
故选：A.
6．答案：C
解析：已知底面ABCD,可得,又底面ABCD为矩形
,
而,
平面PAB,平面PAD
平面平面PAB,平面平面PAD
又
平面PAB,平面平面PAB
选项A,B,D可证明
故选：C.
7．答案：C
解析：设,在中,,,则,
在中,,,则,
因为,所以由余弦定理得：
整理得：,解得.
故选：C.
8．答案：A
解析：设圆锥的高为h,底面圆的半径为r,母线长为l.
因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心间的距离为2,
设P为母线SB的中点,在直角三角形SBO中,
所以母线长,又母线与底面所成的角为,
所以,解得,
所以圆锥的高,
故该圆锥的体积.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由平均数的计算公式,可得数据的平均数为,所以A项正确;
由方差的公式,可得,所以标准差为,所以B项不正确;
根据众数的概念,可得数据的众数为2和3,所以C项正确;
数据从小到大排序：1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,根据百分位数的概念,可得第85百分位数是第9个数据的值,即为5,所以D项不正确.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：,故A正确;
,故B正确;
,故C错误;
,故D错误.
故选：AB.
11．答案：BD
解析：A选项：如果,那么,,故A选项错误;
B选项：如果A与B互斥,那么,,故B选项正确;
C选项：如果A与B相互独立,那么,,故C选项错误;
D选项：如果A与B相互独立,那么,,故D选项正确.
故选：BD.
12．答案：AD
解析：如图所示,对于A,因为,所以即直线与直线DC所成角,,故正确;
对于B,取中点N,连接,GN,
在正方体中,,,平面AEF,平面AEF,
所以平面AEF,同理可证平面AEF,,
所以平面平面AEF,又平面,所以平面AEF,故错误;
对于C,假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,
连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故错误;
对于D,在正方体中,,把截面AEF补形为等腰梯形,易知,,,,EF之间的距离,
所以其面积为,故正确;
故选：AD.
13．答案：（答案不唯一,只要满足实部和虚部的平方和为5的非纯虚数即可）
解析：设,
由题意可知,,
取,,
故答案为：.
14．答案：②
解析：对于①,可能,所以①不成立;对于②,根据面面平行的性质可知,条件②能推出.对于③,可能,所以③不成立.所以能推得的条件是②.
故答案：②.
15．答案：
解析：因为与共线,可设,
即,因为,不共线,所以,所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示：
连接AC,BD交于点,连接,则平面ABCD,
因为正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为,
所以,
设外接球的半径为R,易知球心O在线段上,
在中,,即,
解得,
所以外接球的表面积为,
故答案为：.
17．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）因为,设,则,解得.
因此,或.
（2）由已知可得,因为,
则,可得,
所以,,
,,则.
18．答案：（1）,成绩在上的人数为900人.
（2）
解析：（1）依题意,,故.
成绩在上的频率为,
所以,所求人数为.
（2）依题意,本次初赛成绩前1500名参加复赛,即求该组数据的中位数,
因为
所以,进入复赛市民的分数应当为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
令得,,,
所以的单调递增区间为;
（2）因为,所以,
当,即时,,
即在区间上的最小值为.
20．答案：（1）,;
（2）．
解析：（1）用频率估计概率,抽取等级为5的零件的概率为0.1,即．
由频率分布表得,即,
故,所以,．
（2）由（1）得等级为1的零件有（个）,分别记作,,
等级为5的零件有（个）,分别记作,,,．
从,,,,,中任意抽取2个零件,
则,．
记事件A为“抽取的2个零件等级相同”．
则,则,
故所求概率为．
21．答案：（1）60°;
（2）﹒
解析：（1）,
由正弦定理得,即,即,
即,
由余弦定理得, , ;
（2）, ,即,又,
由正弦定理得,
,
为锐角三角形, ,解得,
从而, ．
22．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,
解析：（1）证明：连交于点F,连EF,
是菱形, F是中点, E是中点, ,
平面,平面, 平面.
（2）过作的延长线于点H,
由底面ABCD知平面,则,又,平面.
由知,又,则.
（3）平面ABCD,平面平面ABCD,
平面, 平面, ,
菱形中,,,平面,
平面,又平面, ,
过F在中,作,垂足为M,
则由,FM,平面知平面,
存在M满足条件,在中,,,F是中点,
, .
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n