青阳中学2023-2024学年高二年级下学期第一次学情诊断数学试卷(含答案)

这是一份青阳中学2023-2024学年高二年级下学期第一次学情诊断数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知样本数据,,…,的均值为3,则样本数据,,的均值为( )
A.4B.6C.7D.12
3．已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则的值为( )
A.1B.3C.5D.7
4．已知幂函数为偶函数,则( )
A.1B.C.3D.
5．直线与抛物线交于A,B两点,则( )
A.6B.8C.10D.12
6．已知且,若函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．在空间直角坐标系中,已知,,,则点A到直线BC的距离是( )
A.B.C.D.
8．如图,过双曲线的右焦点F引圆的切线,切点为P,延长FP交双曲线C的左支于点Q.若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．点P在圆上,点Q在圆上,则( )
A.圆与圆有4条公切线
B.的最大值为
C.的最小值为
D.最大值为
10．已知函数,其部分图象如图所示,则下列关于的结论正确的是( )
A.
B.在区间上单调递减
C.的图象关于点对称
D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
11．如图,在棱长为2的正方体中,点P是线段上的动点.则( )
A.DP与平面相交于点P
B.
C.直线AP与直线所成角的范围是
D.三棱锥的体积为定值是
三、填空题
12．假设,,且A与B相互独立,则________.
13．已知椭圆短轴长为4,焦距为3,,分别是椭圆的左,右焦点,若点P为C上的任意一点,则的最小值为________.
14．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题,这是一个经典的数学问题,用数学语言可描述为:将数字1,2,3,…,n()顺时针排列在圆周上,首先取走数字2,然后按照顺时针方向,每隔一个数字就取走一个数字,……直到圆周上只剩下一个数字,将这个数字记为.例如时,操作可知,则________
四、解答题
15．已知集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16．已知数列的前n项和为,若,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
17．如图,在几何体中,底面ABCD为边长为2的正方形,,,平面ABCD.
（1）证明:平面BDF;
（2）求二面角的大小.
18．已知圆,过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E,F两点.
（1）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G,H两点,求四边形EGFH面积的最大值;
（2）设曲线C与x轴交于P,Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
19．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年一325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽,系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图甲,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.
已知图乙中,椭圆C的中心在坐标原点,焦点为,,由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为.
（1）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点,椭圆C在点P处的切线为l,在l上的射影H满足,利用椭圆的光学性质求椭圆C的方程;
（2）在（1）的条件下,设椭圆C上顶点为Q,点A,B为x轴上不同于椭圆顶点的点,且,直线AQ,BQ分别与椭圆C交于点M,N(M,N异于点Q),,垂足为T,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：,故对应点在第二象限
2．答案：C
解析：所求样本数据的均值为
3．答案：A
解析：,
,
4．答案：D
解析：由得或,又因为是偶函数,所以
5．答案：B
解析：
,
,
.
6．答案：D
解析：,,
7．答案：A
解析：,,
8．答案：B
解析：取双曲线左焦点为,则,,,
过点作,G为垂足,则,
在中,,,
9．答案：ACD
解析：,所以两圆外离,所以两圆有四条公切线,A正确;
,,故B错误,C正确:
当与圆相切时,取得最大值,D正确.
10．答案：AC
解析：,,,将点代入得,,故A正确;
由图象可知,在单减,单增,故B错误;
由得的图象关于点对称,故C正确:
,故D错误.
11．答案：BCD
解析：（1）平面,故A错误;
（2）易知平面,,故B正确;
（3）当点P与重合时,直线AP与直线所成角为;当点P与不重合时,过点P作,则,
所以直线AP与直线所成角为,
在中,
当点P从点C运动到时,越来越大,
故,;
综上:直线AP与直线所成角的范围是,故C正确:
（4）因为,所以平面,
所以,故D正确.
12．答案：0.44
解析：
13．答案：
解析：,
,
当且仅当时等号成立.
14．答案：65
解析：由题可知,圆周上排列1,2,3,…,2n时,第一轮操作将划去所有的偶数,
留下1,3,5,…,这n个奇数,这里的第k个数为,
所以,根据的定义可知,1,2,…,n留下的是,也就是第个数,
所以1,3,5,…,中最终留下的也是第个数,也即,所以,
所以.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
（2）时,;时,,,
综上,a取值范围是
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）①,
②,
①-②,得,
又因为,所以,所以是以3为首项3为公比的等比数列,所以
（2）,由错位相减法得
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）为正方形
又平面ABCD,
又,平面BDF
（2）以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,,设为平面AEF的一个法向量
取
同理,平面CEF法向量为
计算得,所以二面角的大小为
18．答案：（1）7
（2）见解析
解析：（1）法一:令点C到直线m,l距离分别为,,则
,,
当且仅当时S取到最大值7
法二:令,则,
当时,,
,
当且仅当时S取到最大值7
当时,,
综上,当时S取到最大值7
（2）不妨记,,令,
,
,
恒成立,,,,
,
,,
所以点N恒在定直线上.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题知,
延长,,交于点,在中,,,则且H为中点,
在中,,则,,,即椭圆方程为
（2）由对称性可知直线MN的斜率不为0,所以可设直线,联立直线MN与,,
则,①
,,②
所以,令,得点A横坐标,同理可得点B横坐标,故,
将,代入上式整理得:,
将②代入得,
若,则直线,恒过不合题意:
若,则,恒过,因为直线MN恒过,且与始终有两个交点,又,,垂足为T,
所以点T轨迹是以GQ为直径的半圆(不含点G,Q,在直线GQ下方部分),圆心,半径为1,所以,当且仅当点T在线段OC上时,所以的最小值为.