四川省乐至中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省乐至中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,且,则满足条件的集合P的个数是( )
A.3B.4C.7D.8
2．若复数z满足,其中i为虚数单位,则( )
A.1B.C.2D.
3．如图是民航部门统计的2021年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是( )
A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高
B.天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C.平均价格涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
4．已知函数是奇函数,则的图像在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．角的终边在直线上,则( )
A.B.1C.3D.-1
6．在区间上随机取一个数x,则事件“”发生的概率为( )
A.B.C.D.
7．“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
9．在的展开式中,的系数为( )
A.B.C.D.
10．已知,分别为双曲线的左右焦点,点P为双曲线右支上一点,直线交y轴于点Q,且点O,Q,P,四点共圆（其中O为坐标原点）,若射线是的角平分线,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
11．在正方体中,点O为线段BD的中点,设点P在直线上,直线OP与平面所成的角为,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．定义：如果函数在上存在,满足,,则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知随机变量,且,则______________.
14．若变量x,y满足约束条件,则的取值范围是__________．
15．函数的零点个数为_______.
16．已知数列的前n项和为,满足,设,则数列的前2021项和___________.
三、解答题
17．在中,内角A、B、C满足.
（1）求A;
（2）若AB边上高等于,求.
18．从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.
（1）求a的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）;
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生,根据直方图中的信息,估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人,用X表示身高在以上的男生人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
19．如图,四面体ABCD中,是正三角形,是直角三角形,,.
（1）证明:平面平面ABC;
（2）若,求二面角的余弦值.
20．已知圆C的方程为,直线l的方程为,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点）,并且点P到直线l的距离恰好等于切线PQ长．
（1）求点P的轨迹方程;
（2）已知直线m的方程为,过直线m上一点R作（Ⅰ）中轨迹的两条切线,切点分别是A,B两点,求面积的最小值．
21．已知函数,其中．
（1）讨论的单调性;
（2）设,当时,关于x的不等式在区间上恒成立,求m的最小值.
22．已知曲线在伸缩变换下得到曲线,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）把化为极坐标方程并求曲线的极坐标方程;
（2）射线与,,交点为A,B,,求.
23．已知.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由不等式,解得,即
又由,可得满足条件的集合P的个数为．
故选：D.
2．答案：A
解析：由题得,
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：从折线图看,深圳的涨幅最接近,从条形图看,北京的平均价格最高,故A正确;
从折线图看,天津和重庆的的涨幅均为正值,故B正确;
从折线图看,平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京,故C错误;
从条形图看,平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州,故D正确.
故选：C.
4．答案：A
解析：由函数是奇函数,
可知,即,检验可知,函数为奇函数,
,
,
,
又,
所以切线方程为,即,
故选：A.
5．答案：C
解析：角的终边在直线上,,
则,
故选：C．
6．答案：D
解析：由时,
由,
得,
由几何概型得.
故选：D.
7．答案：C
解析：若表示焦点在y轴上的椭圆,
则需,即,所以,
所以“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是,
故选：C.
8．答案：C
解析：设点A关于直线的对称点．
根据题意,为最短距离,先求出的坐标．
的中点为,直线的斜率为1,
故直线的方程为,即．
由,联立得,,
,则,
故,
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：C．
9．答案：B
解析：由题意分析可知,要求的系数,只需求解展开式中项的系数,
因为展开式通项为,
所以当时,,
故的系数为.
故选：B.
10．答案：B
解析：因为点O,Q,P,四点共圆,所以．
因为射线是的角平分线,所以,
由双曲线的对称性知,所以,
,
因此,,从而,
因此离心率.
故选：B.
11．答案：A
解析：由题意可得：直线OP于平面所成的角的取值范围：

不妨取 .
在中, .

的取值范围是 .
故答案为.
12．答案：B
解析：,由题意在上有两个不等实根,
方程即为,令,
则,解得．
故选：B．
13．答案：
解析：因为随机变量,则,解得.
故答案为：.
14．答案：.
解析：绘制不等式组表示的可行域如图所示,
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值,
在点处取得最小值,
综上可得,目标函数的取值范围是.
15．答案：2
解析：令,则,
在同一直角坐标系中作出函数与的图象,如图：
由图象可知,函数当时,则与的图象有必有两个交点,
所以方程有两个不同实根,所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
16．答案：
解析：因为,所以,
时,,
也适合上式,所以,
,
所以．
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
令的三内角A,B,C所对的边分别为啊,a,b,c,
所以由正弦定理可得,
所以由余弦定理可得,
因为,所以.
（2）由三角形的面积公式可得,则,
由正弦定理可得,
因为,则,所以,,即,
即,整理可得,
所以,,解得.
18．答案：（1）,平均身高为;
（2）分布列答案见解析,数学期望：.
解析：（1）根据题意得,解得,
设样本中男生身高的平均值为,
,
所以估计该市中学全体男生的平均身高为;
（3）从全市中学的男生中任意抽取一人,其身高在以上的概率约为.
由已知得,
所以,,
,.
随机变量X的分布列为
所以.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）取AC的中点O,连接BO,OD.
因为是等边三角形,所以,
在与中,,,
所以,可得,
因为是直角三角形,
所以AC是斜边,可得,所以,
所以,
所以,,
又因为,
所以平面ACD.
又平面ABC,
所以平面平面ABC
（2）由题知,点E是BD的三等分点,建立如图所示的空间直角坐标系．
设,则,,,,,,,,
设平面ADE的一个法向量为,
则即
令,则,
所以平面ADE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为
则即,
令,则
所以平面ACE的法向量为.
所以
所以二面角的余弦值为.
20．答案：（1）;
（2）4.
解析：（1）设点P的坐标为,,
则点P到直线的距离,
经过点P作圆的切线,
切线长为,
因此,整理可得,
即点P的轨迹方程为：;
（2）对抛物线,求导可得,
故在处的切线方程为：,整理可得：,
同理在处的切线方程为：,
设直线m上一点,
,故A,B在直线上,
即直线AB的方程为．
联立可得．
,,
点到直线AB的距离,
面积,
当且仅当时取等号,故面积的最小值为4．
21．答案：（1）答案见解析;
（2）-3
解析：（1）的定义域为,
,
当,即时,当时,,
则单调递增,当时,,则单调递减;
当,即时,当,时,,单调递减,
当时,,单调递增.
综上,时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递增,在单调递减;
（2）当时,,
由可得,
令,,
则,
当时,,
设,则,即在上单调递增,
又,
则存在,使得,即,即,
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
,
在上单调递增,则,
又对任意恒成立,,
所以,即m的最小值为-3.
22．答案：（1）,;
（2）或.
解析：（1）曲线,
转换为极坐标方程为：.
伸缩变换转换为：,代入曲线,
得到极坐标方程为.
（2）把代入,
即：,
转换为,
同理：,
由于,
所以：,
解得：,
故：或.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,
①当时,不等式可化为,解得, ,
②当时,不等式可化为,解得, ,
③当时,不等式可化为,解得,,
综上可知,原不等式的解集为;
（2）当时,不等式,即,
整理得,
则,即,
又,故分离参数可得,
令函数(),显然在上单调递减, ,
当时,(当且仅当时等号成立),
实数a的取值范围为.
X
0
1
2
3
P