四川省乐至中学2023届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省乐至中学2023届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,且,则满足条件的集合P的个数是( )
A.3B.4C.7D.8
2．若复数z满足,其中i为虚数单位,则( )
A.1B.C.2D.
3．如图是民航部门统计的2021年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是( )
A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高
B.天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C.平均价格涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
4．已知函数是奇函数,则的图像在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．角的终边在直线上,则( )
A.B.1C.3D.-1
6．在区间上随机取一个数x,则事件“”发生的概率为( )
A.B.C.D.
7．“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
8．设的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的,则等于( )
A.1B.C.0D.-1
9．在中,,,,则在方向上的投影是( )
A.4B.3C.-4D.-3
10．已知函数,则( )
A.在上单调递减B.在上单调递增
C. 在上单调递减D.在上单调递增
11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
12．已知,分别为双曲线的左右焦点,点P为双曲线右支上一点,直线交y轴于点Q,且点O,Q,P,四点共圆（其中O为坐标原点）,若射线是的角平分线,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
二、填空题
13．已知双曲线的渐近线方程为,则__________．
14．若变量x,y满足约束条件,则的取值范围是__________．
15．已知中,a,b,c的内角分别是A,B,C,若=,则角_____________．
16．设直线（t为参数）与抛物线相交于A,B两点,点．则的值为_____________．
三、解答题
17．2019年12月,《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施.为进一步普及生活垃圾分类知识,了解居民生活垃圾分类情况,某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动,并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计,得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
各年龄段频数分布表
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图,并求出各年龄段频数分布表中m,n的值;
（2）现从年龄在段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动.应社区要求,从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言,求选取的2名发言者中恰有1名年龄在段中的概率.
18．设为数列的前n项和,已知,．
（1）证明：为等比数列;
（2）求通项公式,并判断n,,是否成等差数列？
19．如图①,在菱形ABCD中,且,E为AD的中点,将沿BE折起使,得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面ABC;
（2）若P为AC的中点,求三棱锥P﹣ABD的体积.
20．已知圆C的方程为,直线l的方程为,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点）,并且点P到直线l的距离恰好等于切线PQ长．
（1）求点P的轨迹方程;
（2）已知直线m的方程为,过直线m上一点R作（Ⅰ）中轨迹的两条切线,切点分别是A,B两点,求面积的最小值．
21．设函数．
（1）若,求函数在处的切线方程;
（2）是否存在实数b,使得关于x的不等式在上恒成立？若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由.
22．已知曲线在伸缩变换下得到曲线,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）把化为极坐标方程并求曲线的极坐标方程;
（2）射线与,,交点为A,B,,求.
23．已知.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由不等式,解得,即
又由,可得满足条件的集合P的个数为．
故选：D.
2．答案：A
解析：由题得,
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：从折线图看,深圳的涨幅最接近,从条形图看,北京的平均价格最高,故A正确;
从折线图看,天津和重庆的的涨幅均为正值,故B正确;
从折线图看,平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京,故C错误;
从条形图看,平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州,故D正确.
故选：C.
4．答案：A
解析：由函数是奇函数,
可知,即,检验可知,函数为奇函数,
,
,
,
又,
所以切线方程为,即,
故选：A.
5．答案：C
解析：角的终边在直线上,,
则,
故选：C．
6．答案：D
解析：由时,
由,
得,
由几何概型得.
故选：D.
7．答案：C
解析：若表示焦点在y轴上的椭圆,
则需,即,所以,
所以“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是,
故选：C.
8．答案：D
解析：由的图象向左平移个单位得到的是的图象,
则.
故选：D．
9．答案：D
解析：如图所示：
,
,
,
又,,
在方向上的投影是：,
故选：D.
10．答案：C
解析：因为.
对于A选项,当时,,则在上单调递增,A错;
对于B选项,当时,,则在上不单调,B错;
对于C选项,当时,,则在上单调递减,C对;
对于D选项,当时,,则在上不单调,D错.
故选：C.
11．答案：C
解析：设点A关于直线的对称点．
根据题意,为最短距离,先求出的坐标．
的中点为,直线的斜率为1,
故直线的方程为,即．
由,联立得,,
,则,
故,
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：C．
12．答案：B
解析：因为点O,Q,P,四点共圆,所以．
因为射线是的角平分线,所以,
由双曲线的对称性知,所以,
,
因此,,从而,
因此离心率.
故选：B.
13．答案：-3
解析：对于双曲线,所以,即双曲线的标准方程为,
则,,又双曲线的渐近线方程为,
所以,即,解得;
故答案为：-3.
14．答案：.
解析：绘制不等式组表示的可行域如图所示,
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值,
在点处取得最小值,
综上可得,目标函数的取值范围是.
15．答案：或
解析：在中,因为=,
所以,
所以,
解得,
因为,
所以或,
故答案为：或.
16．答案：
解析：联立直线的参数方程与抛物线的方程有,即.
设A,B对应的参数为,,则,,故
故答案为：.
17．答案：（1）频率分布直方图详见解析,,;
（2）
解析：（1）设年龄在的频率/组距,因为频率之和为1,结合频率分布直方图可得：
,解之得：,
频率分布直方图如下：
所以,;
（2）因为在段中总人数为500,所以抽样比为,
所以在段中抽取人数为,
在段中抽取人数段中抽取人数为,
所以选取的2名发言者中恰有1名年龄在段中的概率为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）;n,,成等差数列．
解析：（1）由得：,又,
数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
（2）由（1）得：,;
;
,,即,
n,,成等差数列.
19．答案：（1）证明见详解;
（2）
解析：（1）因为四边形ABCD是菱形,且点E为AD中点,
又,故三角形ABD为等边三角形,
则,
又在三角形ADE中,,,
满足,
故,
又,BE,平面ABE,
故可得平面ABE,
又因为,
故可得平面ABE,
又平面ABC,
故可得平面平面ABE.即证.
（2）因为P是AC中点,故.
又,,,
BE,平面BCDE,
故平面BCDE,即AE为底面BCD上的高.
又,
,
故
.
故三棱锥的体积为.
20．答案：（1）;
（2）4.
解析：（1）设点P的坐标为,,
则点P到直线的距离,
经过点P作圆的切线,
切线长为,
因此,整理可得,
即点P的轨迹方程为：;
（2）对抛物线,求导可得,
故在处的切线方程为：,整理可得：,
同理在处的切线方程为：,
设直线m上一点,
,故A,B在直线上,
即直线AB的方程为．
联立可得．
,,
点到直线AB的距离,
面积,
当且仅当时取等号,故面积的最小值为4．
21．答案：（1）;
（2）存在,．
解析：（1）当时,,则,于是得,而,
所以函数在处的切线方程为;
（2）函数,,则,且,
①若时,,于是得在上为减函数,
,;
②若时,,即在上为增函数,
,,不能使在上恒成立;
③若时,,
当时,,从而得函数在上单调递增,
当时,,不能使在上恒成立;
综上所述,当时,在上恒成立,
所以存在,使得关于x的不等式在上恒成立.
22．答案：（1）,;
（2）或.
解析：（1）曲线,
转换为极坐标方程为：.
伸缩变换转换为：,代入曲线,
得到极坐标方程为.
（2）把代入,
即：,
转换为,
同理：,
由于,
所以：,
解得：,
故：或.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,
①当时,不等式可化为,解得, ,
②当时,不等式可化为,解得, ,
③当时,不等式可化为,解得,,
综上可知,原不等式的解集为;
（2）当时,不等式,即,
整理得,
则,即,
又,故分离参数可得,
令函数(),显然在上单调递减, ,
当时,(当且仅当时等号成立),
实数a的取值范围为.
组数
分组
频数
第一组

200
第二组
300
第三组
m
第四组
150
第五组
n
第六组
50
合计
1000