湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联考综合测评数学试卷（原卷版）

这是一份湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联考综合测评数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 在中，已知，则， 已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2024年2月1日下午15：00—17：00
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，z的共轭复数为，则=（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 没有公共点的两条直线是异面直线
B. 若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C. 若平面α，β，γ满足，，则
D. 已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则
4. 已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A B. C. D.
5. 在中，已知，则（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
6. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（ ）
A 有且仅有两个零点B. 有一个或两个零点
C. ω的取值范围是D. 在区间上单调递减
8. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A. 均值为B. 中位数为
C. 方差为D. 第百分位数为
10. 已知，，且，则（ ）
A. ，B.
C. 的最小值为，最大值为4D. 的最小值为12
11. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（ ）
A. a，b满足B. 的最大值为
C. 存在点P，使得D.
12. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 当时，B.
C. 数列单调递增，单调递减D. 当时，恒有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的常数项为___________（用数字填写答案）.
14. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______.
15. 已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段为直径的圆与y轴交于M，N两点，则的最小值是____________.
16. 若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.
17 已知数列满足：，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
18. 在中，已知，D为的中点.
（1）求A；
（2）当时，求的最大值.
19. 如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.
（1）求二面角的正切值；
（2）点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. “中式八球”是受群众欢迎台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：
首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；
紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.
现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
（1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.
（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；
（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；
（2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠?
21. 在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比到点的距离大2，记点M的轨迹为曲线H.
（1）若过点B的直线交曲线H于不同的两点，求该直线斜率的取值范围；
（2）若点D为曲线H上的一个动点，过点D与曲线H相切的直线与曲线交于P，Q两点，求面积的最小值.
22. 已知函数，，a，，且曲线在处的切线方程为.
（1）讨论函数的单调性；