，安徽省六安市外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学试题数学试题

这是一份，安徽省六安市外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学试题数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 新型冠状病毒的直径大约为，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】，
故选C．
【点睛】本题主要考查科学记数法的定义，掌握科学记数法的形式：（，n为整数），是解题的关键 ．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘方法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，同底数幂相除法则计算即可判断．
【详解】解：A． ，故选项A错误，不符合题意；
B． ，故选项B正确，符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高C． ，故选项C错误，不符合题意；
D． ，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了乘方法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，同底数幂相除法则，正确运用以上进行计算是解题的关键．
4. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3．据此可作出判断．
【详解】解：从左面看所得到的图形， ．
故选：D．
【点睛】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．
5. 已知a≠b，且a＋＝b＋则下列结论正确的是（ ）
A. a＋b＝0B. ab＝1
C. 若a＋b＝0，则a－b＝2D. 若a－b＝2，则a＋b＝0
【答案】D
【解析】
【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可
【详解】∵a＋＝b＋，
∴a－b＋－＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴选项A、B错误；
当a＋b＝0时，与联立，解得 或，
可得a－b＝－2或a－b＝2，
故选项C错误；
当a－b＝2时，与联立，解得，
可得a＋b＝0，
故选项D正确；
故选D
【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可．
6. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ）
A. 众数是90分B. 中位数是90分C. 平均数是91分D. 方差是1
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和折线统计图中提获取信息即可解答．
【详解】解：A、众数是90分，人数最多，正确；
B、中位数是90分，正确；
C、平均数是（1×100+2×85+2×95+5×90）÷10=91分，正确；
D、方差是[（85-91）2×2+（90-91）2×5+（100-91）2+2×（95-91）2]=19，错误；
故选为D．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，解答的关键是能从统计图中获取数据并掌握求众数、中位数、平均数和方差的方法．
7. 如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据，求出的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
8. 图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由已知得到，再得出与的关系，由三角函数关系求得CF、BF的值，通过，用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵是斜边上的中线，
∵（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴，
又∵，
在△ABC中，，
在△AEC中，，
∴，
，
，设，
则，即，
解得（负值舍掉），
，
∴是的垂直平分线， ∴，
，
，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．
9. 关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点和代入解析式，即可求得，，根据对称轴在轴的左侧，且过点可得得出抛物线与x轴的另一交点在的左侧且，当时，即，故，根据，得到，结合，求得，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵抛物线点和
代入可得
∴，
∵对称轴在y轴左侧，且过点
∴抛物线与x轴另一交点在的左侧
故，开口向上
∴当时
即
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴的取值范围为
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．得出与x轴的另一交点在的左侧是解题的关键．
10. 在△EFG中，∠G＝90°，，正方形ABCD的边长为1，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分四种情况：0≤t≤1时，重叠部分的面积为三角形；1＜t≤2时，重叠部分的面积为多边形；2＜t≤3时，重叠部分面积等于正方形ABCD的面积；3＜t≤时，重叠部分面积为多边形．分别求出不同情况下重叠部分的面积即可得到答案．
【详解】∵，∠G＝90°，
∴由勾股定理得EF＝5，
①当0≤t≤1时，如图1，
则AE＝t＝AH，
S＝×AE×AH＝t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，；
②当1＜t≤2时，如图2，设EG交CD于点H，BC交EG于点G，
则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，
S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1﹣×CH×CG＝，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，S=1；
③当2＜t≤3时，如图3，
S＝S正方形ABCD＝1，
④当3＜t≤4时，如图4，设AB、BC分别交FG于点N、M
则AF=4−t=AN
∴BN=BM=AB−AN=1−(4−t)=t−3
∴S＝S正方形ABCD﹣S△BMN＝1﹣×BM×BN＝
函数为开口向下的抛物线，且当t=4时，S=
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，弄懂正方形运动过程中与三角形重叠部分图形的规律、进而进行分类讨论是解题的关键与难点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
12. 如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点O作于E，过点C作于F，连接，根据垂径定理及矩形的判定和性质得出，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：过点O作于E，过点C作于F，连接，

∵，
∴，，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
13. 把一块含角的三角板ABC按右图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，_________．
【答案】5
【解析】
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作AD⊥x轴，CE x轴，垂足分别为D，E，解Rt△ABC，Rt△ABD，Rt△CBE，求出AB，AD，BD，BE，CE，再根据反比例函数K的几何意义求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，过点A，C分别作AD⊥x轴，CE x轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴∠
∴
在中，∠
∴∠
∴
∴
∵∠
∴∠
在中，∠
∴∠,
∴，
∴
设OD=x，则
∴
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，，即OD=3
∴
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键．
14. 如图，在中，，，，点D是AB的中点，点F是射线AC上一点，将沿DF对叠得到．
（1）当时，______；
（2）当时，的面积为______．
【答案】 ①. 3 ②. 或15
【解析】
【分析】（1）只需要证明△ADF∽△ABC，即可推出；
（2）分图1和图2两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1） ∵D是AB的中点，
∴AB=2AD，
∵DF⊥AC，∠C=90°，
∴，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）如图1，当于点H时，
由（1）可知，，，则．在中，，
由勾股定理，得，则，解得，
∴．
如图2，当点F位于点C左侧，当于点H时，易知，．
在中，由勾股定理，得，则，
解得，则，
∴．
综上所述，的面积为或15．
故答案为：或15．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数、算术平方根计算即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数、算术平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16. 请在以下小正方形边长为1的方格纸中作图：
（1）请在方格纸中，以AB为边构造等腰直角△ABC，使∠ACB=90°；
（2）将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，画出对应的△A B' C'．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得AB长，可知两直角边长，恰好是两个方格的对角线，进而在方格纸中找到点C构造出所求三角形．
（2）按旋转性质特征画图即可．
【小问1详解】
解：图如下：
【小问2详解】
解：图如下：
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题、画旋转图形，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17. 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗，问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余的纳税，经过内关时用再余的纳税，最后还剩下5斗米，这个人原来背多少米出关？
【答案】这个人原来背米出关．
【解析】
【分析】求出经过外关之后剩余的米为：，经过中关之后剩余的米为：，经过内关之后剩余的米为：，找出等量关系：，解方程即可．
【详解】解：设这个人原来背x米出关，
则由题意可知：
，解之得：
∴这个人原来背米出关．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练找出等量关系，列方程进行求解．
18. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
【答案】米，米．
【解析】
【分析】过点作于，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，设，求得，，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
解：过点作于，
则四边形是矩形，
∴，
设，
∴，
∴，，
在中，，，
，
解得：，
∴米，米，
答：和的长分别为1.25米，0.35米．
故答案为米，米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
20. 已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）cm
【解析】
【分析】（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得证．
（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应边成比例，即可求出AE及DE的值．
【详解】（1）证明：如图：
∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝，
∴DE＝（cm）．
【点睛】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．
五、（本题共12分）
21. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）求m的值．
（2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数．
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题．
如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】（1）80 （2）36°
（3）
【解析】
【分析】（1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以0.5即可求出m的值；
（2）用360°乘以参与“热学”实验的人数所占的百分比即可得出答案；
（3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【小问1详解】
∵20÷0.25=80（人），
∴m=80×0.5=40；
故答案为：40；
【小问2详解】
参与“热学”实验的扇形圆心角的度数是：360°×=36°；
【小问3详解】
画树状图如图：

共有12种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有6种情况，
则使小灯泡发光的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
六、（本题共12分）
22. 已知抛物线：和直线：均与x轴相交于点A，抛物线与x轴的另一个交点为点．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线上，求h的值；
（3）设抛物线和直线的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线于点M，N，记，求W的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）W的最大值为
【解析】
【分析】（1）利用直线求出交点，将点将，将代入抛物线：，解方程组即可求出a，b的值；
（2）求出抛物线的顶点C的坐标为，将代入求出x的值，即可求解；
（3）设，则，可得点M的坐标为，用含m的式子表示，可得的二次函数，根据二次函数的最值即可得W的最大值．
【小问1详解】
令直线：中，得，
∴直线与x轴的交点，
将代入抛物线：，得，
将代入抛物线：，得，
解方程组，解得 ；
【小问2详解】
由（1）得抛物线为，配方得，顶点C的坐标为，
把代入，解得，
即将抛物线向右平移2个单位长度，抛物线的顶点C落在直线上；
【小问3详解】
令，得，
当时，，
∴抛物线和直线的另一个交点D的坐标为，
设点的坐标分别为，，点M的横坐标为，纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得，
即点M的坐标为，
∴，
∴
配方得，
∵，，
∴当时，W有最大值，最大值为．
【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，平移的性质，坐标与图形，根据坐标分别表示出线段的长是解题的关键．
七、（本大题共14分）
23. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
（1）求证：CD2＝DG•DA；
（2）如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；
（3）如图2，若GC＝2，GE＝2，求GD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明△ACD∽△CGD，根据相似三角形性质即可证得结论；
（2）如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；
（3）根据∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四点共圆，过点E作EH⊥AD于点H，可得△EGH是等腰直角三角形，再证明△CFG≌△EFH（AAS），利用勾股定理和三角函数定义求出AG，再证明△CAG∽△DCG，运用相似三角形性质即可求出答案．
【详解】解：（1）∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠CGD＝∠ACB＝90°，
∵∠CDA＝∠CDG，
∴△ACD∽△CGD，
∴CD：DG＝DA：CD，
∴CD2＝DG•DA；
（2）如图1，过E作EH//AD交BC于点H，
∵HE//AD，
∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∴BE：EA＝1，
∴BH：HD＝BE：EA＝1，
∵CF＝2EF，
∴CD：HD＝CF：EF＝2，
∴BH＝HD，CD＝2HD，
∴BD＝BH+HD＝2HD，
∴BD＝CD，
∴D为BD的中点．
（3）∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵CE⊥AB，CG⊥AD，
∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴A、C、G、E四点共圆，
∴∠AGE＝∠ACE＝45°，
如图2，过点E作EH⊥AD于点H，
∴△EGH是等腰直角三角形，
EH＝GH＝GE•sin45°＝2×＝2，
∵CG＝2，
∴CG＝EH，
∵∠CGF＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠EFH，
∴△CFG≌△EFH（AAS），
∴FG＝FH＝1，CF＝EF，
在Rt△CFG中，CF＝＝＝，
∴CE＝2CF＝2，
∴AC＝＝＝2，
∴AG＝＝＝6，
∵∠CGD＝∠AGC＝90°，
∴∠CAG+∠ACG＝90°，
∵∠ACG+∠DCG＝90°，
∴∠CAG＝∠DCG，
∴△CAG∽△DCG，
∴＝，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形判定和性质，四点共圆、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．类别
频数（人数）
频率
力学
0.5
热学
8
光学
20
0.25
电学
12