北京市第十五中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份北京市第十五中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共40分，每题2分)
1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合要求；
B是中心对称图形，故符合要求；
C不是中心对称图形，故不符合要求；
D不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
3. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角的度数为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高
A. 60°B. 70°C. 72°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为，由将圆五等分得到的图中角，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得，
故答案为：C．
4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图：
故选∶A．
5. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（）
A. B. C. 3D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，
得
解得．
故选：C．
6. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用第三周接待游客人数第一周接待游客人数这两个月的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得，
故选：A．
7. 若抛物线经过点，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项就是抛物线与轴的交点，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：抛物线经过点，
的值为，
故选：A．
8. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和顶点坐标，若抛物线，则顶点坐标为．由抛物线的解析式直接可以得出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解．
【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根，
故选：D．
10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有最小值为2B. 当时，有最大值为2
C. 当时，有最小值为2D. 当时，有最大值为2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵，
∴该函数图像开口向上，对称轴为，
当时，取得最小值2，
故选：A．
11. 下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A. 随的增大而减小B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，随的增大而增大D. 当时，随的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．
【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴，
当时，随增大而减小，
A、C选项说法错误，
当时，随增大而增大，
B选项说法正确，D选项说法错误，
故选：B．
12. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律．
二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式．
【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：；
再向上平移个单位长度可得，
故选：．
13. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
14. 如图，正方形的边长为，且顶点，，，都在上，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正多边形和圆，连接，是正方形，则，，
利用圆周角定理可得是的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．
【详解】如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是的直径，
在中，由勾股定理得：，
∴的半径为，
故选：．
15. 如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
由题意知，，则，由勾股定理得，，进而可求．
【详解】解：由题意知，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：C．
16. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，
其中扇形半径为，圆心角最大角度为，
∴扇形的最大面积为：，
故选：B．
17. 在下列事件中，随机事件是（ ）
A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6
B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
C. 通常情况下，自来水在结冰
D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断．
【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意；
B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；
C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意，
故选：D．
18. 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 通常温度降到以下，纯净的水结冰
D. 在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查随机事件，掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8是不可能事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、通常温度降到以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；
D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；
故选：A．
19. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球
C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键．
【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则
A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；
B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；
C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；
D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；
故选：B．
20. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为，
故选：A．
二、解答题(共30分，每题6分)
21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的根的判别式即可．
（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
【小问1详解】
∵方程，，
∴，
∴，
解得．
【小问2详解】
∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
22. 已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值：
（1）求解析式；
（2）直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数；
（1）先确定抛物线顶点，用待定系数法求出的表达式；
（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得出不等式的解集．
【小问1详解】
解：根据题意，当时，；当时，，
抛物线顶点为，
设该二次函数的解析式为，
当时，，代入表达式，
，
；
【小问2详解】
解：当时，；当时，，
∴直线与抛物线的交点为和，
而时，，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
23. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．

（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，，
（2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．
（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
小问1详解】
解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，．
【小问2详解】
解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等，
∴．
24. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．

求证：点在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一 作出过三点的．
如图1，分别作出线段的垂直平分线，

设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．
连接，
（①______）．（填推理依据）
．
点在上．
步骤二 用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
ⅰ．如图2，假设点在内．

延长交于点，连接．
（②______）．（填推理依据）
是的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在内．
ⅱ．如图3，假设点在外．

设与交于点，连接．
．
是的外角，
．
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在外．
综上所述，点在上．
点在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
【答案】（1）见解析；（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解析】
【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键；
（1）先作线段，的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，为半径画圆即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结合三角形的外角的性质可得推理的依据．
【详解】解；（1）补全图1，如图．

（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
②圆内接四边形的对角互补．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
25. 如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）详见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论；
（2）由（1）知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
由（1）知，是的切线，
∴，
∴，
∴
设的半径为r，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴D为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
第二部分 自主学习
一、选择题(共12分，每题2分)
26. 下列几何体中，主视图为下图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； 再结合常见几何体的主视图特征判断即可
【详解】解：A．主视图为矩形，符合题意；
B．主视图为三角形，不符合题意；
C．主视图为有一公共边的两个三角形，不符合题意；
D．主视图为圆，不符合题意；
故选： A．
【点睛】本题考查了主视图的概念，牢记观察方向是解题关键．
27. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．
【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，
∴该几何体符合长方体的三视图特征，
故选A．
【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．
28. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，
∴点和中，，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．
29. 如图， 在平行四边形中， E是边上的点， 连接交于点F， 若， 则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由平行四边形，得到对边与平行且相等，确定出三角形与三角形相似，由相似得比例列出比例式，根据，求出与比值，进而确定出与比值，即为相似比，即可求出所求式子的值．
【详解】解：解：∵四边形 是平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故选：B．
30. 如图，在中，点D， E分别在边 ， 上，且， 若 ， 的面积是 2，则的面积是( )
A. 3B. 4C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，计算即可．
详解】∵，
∴，
∴，
∵的面积是 2，
∴，
解得，
故选D．
31. 如图，树在路灯O的照射下形成树影． 已知灯杆高为，树影长为，树与灯杆的水平距离为， 则树的高度为( ) m．

A. 2B. 2.5C. 3D. 4.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，先证明，得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
∴
∴
∴
∵
则
解得
故选：A
二、解答题(共 18分， 每题6分)
32. 如图， 直角三角形，
（1）写出其中三角函数是哪些边的比：

（2）若 直接写出三角函数的值：

【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查同角三角函数的关系，掌握各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的关键．
（1）根据正弦、余弦和正切的定义作答即可；
（2）根据特殊角的三角函数解答即可．
【小问1详解】
解：如图：；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
33. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式：
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围： ．
【答案】（1）这个反比例函数的解析式为；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线经过点时的解析式，求得此时直线与y轴的交点，利用数形结合思想即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，

∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，
∴．
34. 如图，在矩形中，点E在边上，于点F．
（1）写出图中一对相似但不全等的三角形： ，并进行证明：
（2）若求的长.
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴设，则，
∵在矩形中，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
∴．
第三部分 拓展提高(附加题，共20分)
35. 总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限)
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查学生的发散思维，根据圆综合常考的知识点，举例：圆必考切线：切线判定方法有哪些；或者已知切线，怎样利用等类似考点进行作答，即可作答．
【详解】解：圆必考切线。切线判定方法有哪些?
（1）最常用：切线判定定理(经过半径外端点，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线)。作辅助线-连接切点和圆心， 证明垂直。
（2）若未告知切线经过圆上的点(那么无法连切点和圆心)， 作辅助线一-过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。
或者：已知切线，怎样利用?
必须利用切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
作辅助线一连接切点和圆心，得到垂直。（答案不唯一）
36. 已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
【答案】（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可
【详解】解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM=α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°，PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN
（3）OP=2时，总有ON=QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°，OP=2
∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD=NC，DM=CP
设DM=CP=x，则OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON=QP
【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP．
37. 在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；（2）①P的纵坐标或；②.
【解析】
【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．
【详解】解：（1）如图2，
以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，
∴弧；
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，
设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
综上所述，或m≥1．
②图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=
，
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
，AE≤3，即，解得：
【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．…
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