福建省莆田市城厢区莆田擢英中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份福建省莆田市城厢区莆田擢英中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是有理数，是无理数，符合题意；
D、是有理数，不是无理数，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
3. 月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D. 439×
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题关键在于找准小数点的位置．把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：，其中，为正整数．
【详解】解：，
故选：C
4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．
【详解】解：卷纸的主视图应是：
，
故选：C．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方法则逐项分析即可．
【详解】解：A． a与不是同类项，不能合并，故不正确；
B． ，故不正确；
C． ，故不正确；
D． ，正确；
故选D．
6. 如图，已知a//b，一块含30°角的直角三角板，如图所示放置，∠2＝30°，则∠1等于（ ）
A. 110°B. 130°C. 150°D. 160°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用三角形外角与内角的关系，先求出∠3，利用平行线的性质得到∠4的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出∠1．
【详解】解：如图：
∵∠C＝90°，∠2＝∠CDE＝30°，
∠3＝∠C+∠CDE
＝90°+30°
＝120°．
∵a//b，
∴∠4＝∠3＝120°．
∵∠A＝30°
∴∠1＝∠4+∠A
＝120°+30°
＝150°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质以及直角三角形内角和定理的推论．注意本题也可以过点B作直线a的平行线，利用平行线的性质和平角求出∠1的度数．
7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了天，利用路程=速度时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解；本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵慢马先行12天，快马天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了天
根据题意得：
故选：D．
8. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A. 中位数是4B. 众数是4C. 平均数是4D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据为，再分别根据中位数与众数的定义、平均数和方差公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：这组数据为，
则中位数是，选项A正确，不符合题意；
因为4出现次数最多，
所以众数是4，选项B正确，不符合题意；
平均数是，选项C正确，不符合题意；
方差是，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟记各定义和公式是解题关键．
9. 如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（ ）
A. 160°B. 140°C. 120°D. 100°
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理和切线性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】连接OA，OB，OC，AB，AC，
∵∠D＝100°，
∴∠BAC＝180°−∠D＝80°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝160°，
∴∠AOB＋∠AOC＝360°−160°＝200°，
∵PQ、PB、QC是⊙O的切线，
∴∠PBO＝∠PAO＝∠QAO＝∠QCO＝90°，
∴∠P＋∠Q＝2×360°−∠PBO−∠PAO−∠QAO−∠QCO−∠AOB−∠AOC＝720°−4×90°−200°＝160°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
10. 已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】将化为一般式，根据根与系数的关系可得，，将化为一般式，可得，，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的与x轴的交点坐标是和，
∴方程的两个根分别为c、d，
∴，，
∴
∵，
设方程的两根为，，
∴，，
∴，分别为a、b，
∴该函数与x轴的交点坐标和，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．）
11. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12. 夹文件的一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态下的示意图，经测量知，，，则在闭合状态下，点B，D之间的距离是______．

图1 图2
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．根据三角形相似得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，
因为，
所以，
所以
所以，
解得．
故答案为：．
13. 如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式列方程即可求解．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：6
14. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，、是第二象限内双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】分别过点、作轴于点，轴于点，轴于点，轴于点，由于反比例函数的图象在第二象限，所以，由点是反比例函数图象上的点，，再由、两点的横坐标分别是、，可知，故点是的二等分点，故，，所以，可求出的值．
【详解】解：分别过点、作轴于点，轴于点，轴于点，轴于点，

反比例函数的图象在第二象限，
，
点是反比例函数图象上的点，
∴，
、两点的横坐标分别是、，
∴，
点是的二等分点，
∴，，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，根据题意得出辅助线得出是解答的关键．
16. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】由折叠的性质可得由平行线的性质可得
可证 可判断①；通过证明可得 可判断②；由中线的性质可得 可判断③；设则利用x表示 GH ， BH， HG 的长，可求可判断④，即可求解．
【详解】解：①∵将沿AC翻折到
∴四边形是菱形．
故①正确．
②
又
又
∵E是AC的中点，
故②正确．
③
故③正确．
④如图所示：过点G作交BA延长线于H，
设则
∵四边形是菱形，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题%是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
18. 如图，在和中，与交于点E，且．证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．先证明，再由全等三角形的性质得结果．
【详解】证明：∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】(1-)÷
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20. 为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的征文比赛，每班限一人参赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了5张正面分别写有，，0，1，2的卡片（卡片背面完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，王伟先从中任意抽取一张，不放回，孙莉再从剩下的4张卡片中任意抽取一张，若两人所抽取的卡片上的数字之积为0，则王伟代表班级参赛；否则，孙莉代表班级参赛．
（1）王伟抽取的卡片正面上的数字是0的概率为________；
（2）请用列表法或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏规则对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）班长设计的这个游戏规则对双方不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再分别找到数字之积为0和不为0的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有5张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴王伟抽取的卡片正面上的数字是0的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：班长设计的这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中数字之积为0的结果数有8种，数字之积不为0的结果数有12种，
∴王伟参赛的概率为，孙莉参赛的概率为
∴班长设计的这个游戏规则对双方不公平．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，在中，，是的平分线，且交于点．

（1）在斜边上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，过点作的垂线，交于点；
（2）根据已知得出，根据角平分线得出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求得，进而勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
【小问2详解】
，
，
，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量（个）与单个售价（元）之间的函数关系如下图．（景区规定任何商品的利润率不得高于）
（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价应定为70元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【解析】
【分析】（1）设y=kx+b，将点(60，140)，(70，120)代入即可求出y与x的函数关系式；
（2）由题意得：利润=单个利润×日销量，根据等量关系列方程，即可求解．
（3）设每天获得的利润为W元，由题意得W与x的二次函数关系式，分析二次函数的图像与性质，以及二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：（1）设（，为常数）将点，代入得，
解得
∴y与x的函数关系式为：y=−2x+260；
（2）由题意得：，化简得：，
解得：，，
∵，且，
∴（舍去），
答：销售单价应定为70元．
（3）设每天获得的利润为元，由题意得，
∵，抛物线开口向下，
∴有最大值，当时，，
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键.
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：米；任务2：会被照射到；任务3：
【解析】
【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键．
（1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出。可证，最后利用三角函数即可得出的长度
（2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可；
（3）过点作交于点，时，在到之间，通过三角函数分别求出两种极端情况下的长度，即为的取值范围．
【详解】解（1）如图1，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
．
，
，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．

（2）方法1：
如图2，过点作交于点．
由（1）知，，
．
在中，，
，
．
在中，，
在中，，
在中，当时，，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．

方法2：
如图2，过点作交于点．
与方法1同理得，得，，
．
在中，．
小明会被照射到．
（3）由（2）知，当时，；
由（1）知，，
当时，
在中，，
，
，
在中，，
在中，当时，，
；
．
24. 如图，抛物线交轴于，交轴于是第一象限内抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，相交于点，令，当的值最大时，求点的坐标；
（3）如图，抛物线的对称轴与轴交于点，直线分别与对称轴交于点，与的面积分别为．设点的横坐标为，当时，的值是否变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）为定值，定值为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入解析式求解即可；
（2）构造相似三角形和，利用直线的解析式求出点坐标以及点关于的代数式，利用相似三角形的性质列方程求解即可；
（3）通过辅助线构造直角三角形并用含有的代数式表示出和，再分别用两个三角函数表示，代入面积公式中，最后化简即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
解：如图，过点作轴，交的延长线于点，过点作轴交于点．则，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
把、代入得，
，
解得，，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
当时，最大，即最大，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：为定值，理由如下：
如图，过点作轴交轴于点．
∵，，对称轴是直线，
∴，
设，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键．
25. 如图，内接于，是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接交于点H．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）设，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①如图，当点G在线段上时，；②如图，当点G在线段上时，
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等，能够推导出，即可证明三角形相似；
（2）连接, 由题意可得, 在中，利用勾股定理求出再由, 得到，在中，利用勾股定理求出, ，则，证明，求得则再由，求出 ；
（3）设, 则 分两种情况讨论：①当点在线段上时, 则 , 过点作交于点, 推导出, 再由, 推导出 从而求出 即可求 ②当点在线段上时，同理可得
【小问1详解】
是的直径，，
，
，
和所对圆周角，
，
．
【小问2详解】
如图，连结，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
设，则，
，
，，
，，
①如图，当点G在线段上时，
，
，，，
过点G作于点M，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
又，
，
，
，
，
．
②如图，当点G在线段上时，
同理可求得．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质是解题的关键.0
1
2
（，）
（0，）
（1，）
（2，）
（，）
（0，）
（1，）
（2，）
0
（，）
（，0）
（1，0）
（2，0）
1
（，1）
（，1）
（0，1）
（2，1）
2
（，2）
（，2）
（0，2）
（1，2）
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．

素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度（度）
90
75
60
45
30
15
参考数据：，．
素材3
小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1
确定影子长度
某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2
判断是否照射到
这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3
探究合理范围
小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．