福建省泉州市南安市十校2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份福建省泉州市南安市十校2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 已知函数y＝（m＋3）x2＋4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A. m＞－3B. m＜－3C. m≠－3D. 任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义解答．
【详解】由题意知，，解得：，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握基础知识即可．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
3. 将抛物线向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【分析】根据二次函数的平行特点进行解答即可。
【详解】解：抛物线向右平移1个单位后所得抛物线的解析式为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平行特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移特点，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减，向右平移横坐标减，向左平移横坐标加．
4. 将二次三项式进行配方，正确的结果应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】x2+6x+7中x2+6x+9即是（x+3）2，因而x2+6x+7=（x+3）2-2
【详解】解：∵x2+6x+7=x2+6x+9-9+7，
x2+6x+7=（x+3）2-2．
故选C．
【点睛】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．
5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 当时，随的增大而增大
C. 图象的顶点坐标是D. 图象与轴有唯一交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质和与坐标轴交点的判定，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质求解即可．
【详解】∵，
∴A.图象的开口向下，错误，不符合题意；
B.当时，随的增大而增大，正确，符合题意；
C.图象的顶点坐标是，错误，不符合题意；
D.图象与轴有两个交点，错误，不符合题意；
故选B．
6. 当时，与的图象大致可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质．根据题意，，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，，
当时，，开口向上，过原点，过一、二、三象限；
此时，没有选项符合；
当时，，开口向下，过原点，过二、三、四象限；
此时，选项D符合．
故选：D．
7. 某种飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）的函数关系式满足，则该飞机从着陆到停下来滑行的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【详解】解：
∴当时，的值最大，为750，
即该飞机从着陆到停下来滑行距离是．
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
8. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是
A. b2>4acB. ac>0C. a–b+c>0D. 4a+2b+c<0
【答案】A
【解析】
【分析】略
【详解】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．
∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确； ∵抛物线开口向下，
∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，所以B选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以C选项错误； ∵当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．
故选A.
【点睛】二次函数图象与系数的关系．
9. 如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线的函数表达式．
【详解】当y＝0时，有（x−2）2−2＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴OA＝4．
∵S阴影＝OA×AB＝16，
∴AB＝4，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x−2）2−2＋4＝
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC的面积是解题的关键．
10. 已知二次函数，当，，时，它们对应的函数值分别为，，，且，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，由可得抛物线对称轴，从而可得与的关系，由可得抛物线开口向上，进而求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：
∴抛物线对称轴为直线
∴抛物线开口向上，
∴
故选：．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若抛物线y＝x2+bx的对称轴是直线x＝1，则b的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
12. 函数 ，当 ____时，函数值 y 随 x 的增大而减小
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解．
【详解】解：由题意得：对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，函数值 y 随 x 的增大而减小
故答案为：
13. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】由题意可得，即可得到关于m方程，解出即可．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，
∴，解得：．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长（单位：）与面积（单位：满足函数解析式，则矩形的面积的最大值为________．
【答案】121
【解析】
【分析】本题主要考查了图形和二次函数的问题，根据二次函数的性质解题即可．
【详解】解：由函数关系可知，
∵二次函数的二次项系数即，
∴当时，y最大值．
故答案为：121．
15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式，直接根据函数的图象即可得出结论，能利用数形结合求解是解题的关键．
【详解】∵由函数图象可知，当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
∴能使成立的的取值范围是： 或，
故答案为：或．
16. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于2，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>2,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
三、解答题（共86分）
17. 已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式．
【答案】
【解析】
【分析】由题意设抛物线的顶点式：，再把代入抛物线的解析式，解方程即可得到答案．
【详解】解：由顶点（-2，2），可设抛物线为：，
将点（-1，3）代入上式可得：

综上所述：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键．
18. 如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围．
【小问1详解】
将（1，0）和代入中，得
，
解得，
∴此二次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵，
∴图象的对称轴为直线，
∵图象与y轴交点为，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，或．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键．
19. （1）请在网格坐标系中画出二次函数的大致图象．（注：图中小正方形网格的边长为1．)
（2）观察（1）中所画图象，填空：当满足： 时，．
（3）观察图形，填空：当时， ， ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）1，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值以及二次函数和不等式的关系．数形结合思想的运用是解答本题的关键．
（1）求得顶点坐标，再列表、描点、连线，即可作出函数图象；
（2）根据图象，即可求解；
（3）分别求得，时，函数的值，结合顶点坐标即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线，
∴顶点坐标为，开口向下，过原点，
描点、连线，画图如下：
（2）由图象可知，时，．
故答案；
（3）当时，
当时，；
当时，；
当时，；
，．
故答案为：1，．
20. 如图， 某学校要修建一个矩形的花圃，花圃的一边靠教学楼， 其它三边用总长为米的篱笆围成，设边的长为（单 位： 米），矩形花圃的面积为（单 位： 平方米）．
（1）求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围） ；
（2）当取多少时，矩形花圃的面积最大，最大的面积为多少？
【答案】（1）
（2）当时， 矩形花圃面积最大， 最大面积为 平方米
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键．
（1）表示出，再利用矩形面积公式，即可求解；
（2）根据即可求解；
【小问1详解】
解：，，
，
则；
【小问2详解】
解：，
，
函数有最大值，
故当时，有最大值 72 ，
答： 当时， 矩形花圃面积最大， 最大面积为 平方米 ．
21. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+e（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3]
（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ．
（2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【答案】（1）[，−1，−1]；（2）m1＝−1，m2＝.
【解析】
【分析】（1）利用“图象数”的定义求解；
（2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，然后根据判别式的意义得到△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，从而解m的方程即可．
【详解】解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]；
故答案为[，−1，−1]；
（2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，
根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，
解得：m1＝−1，m2＝．
【点睛】本题考查了新定义及抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键．
22. 已知二次函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；
（2）若此函数有最小值，求这个函数表达式．
【答案】（1）证明见解析；（2）或．
【解析】
【详解】试题分析：（1）判断根的判别式的正负即可得到结论；
（2）根据函数最小值即为顶点的纵坐标即可求得结果．
（1），不论为何值时，都有，
此时二次函数图像与轴有两个不同交点．
（2），，或，
所求函数式为或．
考点：该题考查函数图象与坐标轴的交点判断
点评：当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点．
23. 某旅游区的湖边有一个观赏湖中音乐喷泉的区域，该区域沿湖边有一条东西向的长为的栏杆，考虑到观景安全和效果，旅游区计划设置一个矩形观众席，该观众席一边靠栏杆，另三边用现有的总长为的移动围栏围成，并在观众席内按行、列（东西向为行，南北向为列）摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）旅游区库存的500张座椅是否够用？请说明理由．
【答案】（1）14 （2）够用
【解析】
【分析】（1）表示出列的数量，根据列的长度不大于32求出x的取值范围即可；
（2）根据行与列的乘积等于总座椅数，求出总座椅数的最大值即可．
【小问1详解】
∵观众席内有x行座椅，且三边用现有的总长为的移动围栏围成
∴观众席内座椅列数为，
∴依题意得：，解得
∴x的最小值为14
【小问2详解】
够用，理由如下：
设总座椅数为y，则
∵
∴当x=15时，y有最大值450；
∴旅游区库存的500张座椅够用
【点睛】本题考查二次函数的应用，属于围栏面积问题的变种，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
24. 已知抛物线与轴交于点A．
（1）直接写出抛物线的对称轴： ；
（2）若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值；
（3）若点A的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）结合抛物线的一般式求对称轴公式，代值求解即可；
（2）由抛物线恒在x轴下方可得，由符合条件的整数a只有三个可得c的取值范围，进而求解；
（3）由点A坐标求出c的值为1，求出直线x＝−2，直线x＝1与抛物线的交点坐标，分类讨论a＞0，a＜0两种情况，列不等式组求解．
【小问1详解】
解：，，
抛物线对称轴为直线；
【小问2详解】
解：抛物线在轴下方，
，
解得，
符号条件的整数有三个，
，
解得，
的最小值为；
【小问3详解】
解：点的坐标是，
，
，
时，抛物线与轴只有一个公共点，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
①当△时，抛物线顶点在轴上，满足题意，解得（舍或；
②当时，若点在轴或轴下方，点在轴上方满足题意，则，解得；
③当时，若在轴上方，点在轴上或轴下方满足题意，则，解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
填空：________；
点在抛物线上，且，求面积的最大值；
设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
【答案】（1）-3（2）当时，面积的最大值为（3）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得点B和点C的坐标，当0（3）作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H，依据轴对称的性质可得到A′（4，2）将y=2代入直线BC的解析式可得到点H的坐标．
【详解】（1）①当时，过点作轴的垂线交于．
令得：，解得或，
∴．
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
∴的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为．
∴．
∴．
当时 最大值为．
②当时，过点作轴的垂线交于．
∴，．
∴．
当时 最大值为．
综上可知，当时，面积的最大值为．作点关于的对称点，过点作轴，垂足为，交与点．
∵的解析式为．
∴．
∵点与点关于对称，
∴，，
∴．
在中，，即，
∴点在整个运动中所用的时间为．
∴当点、、在一条直线上时，所用时间最短．
将代入得：，解得：，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和仔细分析问题是解题的关键.0
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