广东省惠州第一中学南湖校区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省惠州第一中学南湖校区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面四条曲线构成的图形中不是轴对称图形的是（ ）
A. 阿基米德螺旋线B. 心形线
C. 三叶玫瑰线D. 笛卡尔叶形线
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据此定义进行分析即可．
【详解】B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的记数方法，写成其中，故得到答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法知识，其中注意整数位数不要数错是本题的解题关键．
3. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．根据最简分式的定义：分式分子分母除了1以外，没有其他的公因式，判断即可．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式为最简分式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：B．
4. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A. 两点之间的线段最短
B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形轴对称图形
D. 三角形有稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：根据题意得：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是三角形有稳定性．
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，三角形的稳定性有着稳固、坚定、耐压的特点，因此题中用木条固定门框，使其不变形．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
6. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案．
【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、，从左到右是因式分解，符合题意；
C、，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
7. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论ABC≌ADC，不能添加的条件是（ ）
A. BC＝DCB. ∠ACB＝∠ACDC. AB＝ADD. ∠B＝∠D
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∠1＝∠2，
A、当BC＝DC时，是边边角，不能得到结论ABC≌ADC，故本选项符合题意；
B、当∠ACB＝∠ACD时，是角边角，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
C、当AB＝AD时，是边角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠D时，是角角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的周长为( )
A. 26B. 20C. 16D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，从而可得出答案．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
9. 在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．
【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
10. 如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.
【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标为．
故答案为：．
12. 若分式的值为0，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0解答即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
13. 已知一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数是________．
【答案】7
【解析】
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【详解】解：一个多边形的内角和与外角和之差为，多边形的外角和是，
这个多边形的内角和为，
设多边形的边数为，
则，
解得：，
即多边形的边数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于的方程是即此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和，多边形的外角和等于．
14. 已知的三边长、、均是整数，且满足，则周长的最大值是______．
【答案】13
【解析】
【分析】根据非负数的和是0，可以得到两个数一定都是0，就可以求得两边的长．进而根据三边关系定理就可确定第三边，从而求得周长．
【详解】解：由(a−3)2+|b−4|=0知，(a−3)=0，|b−4|=0，
∴a=3，b=4．
∴三角形第三边要满足不大于3+4=7，只能为6．
∴△ABC周长的最大值是3+4+6=13，
故答案为13．
【点睛】本题考查非负数性质与三角形三边关系的综合应用，熟练掌握非负数的性质和三角形中两边之和大于第三边的性质是解题关键．
15. 定义：形如的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定（），a称为复数的实部，b称为复数的虚部、复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数。例如，因此，的实部是-8，虚部是6.已知复数的虚部是12，则实部是______________；
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用已知定义得出实部、虚部,进而得出答案.
【详解】解:∵
实部为，虚部为
又复数的虚部是12,
的实部为
故答案为5．
【点睛】本题考查了实数的运算，在解题过程中理解新给出的定义公式是关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，共24分．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算及整式的除法，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则及整式的除法法则．
（1）根据有理数的乘方、零指数幂及负指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）根据整式的除法法则进行计算即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
17. （1）因式分解：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用分解因式，熟练掌握分解因式的方法及分式方程的解法是解本题的关键．
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为
18. 先化简，再求值：，在，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】，10
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，取，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
要使分式有意义，且且，
所以不能为2，，0，
取为1，
当时，原式．
四、解答题（二）：本大题共3小题，共28分．
19. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．某粮食生产基地为落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
（2）甲种农机具最多能购买8件
【解析】
【分析】（1）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；
（2）设甲种农机具最多能购买件，根据题意，列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，根据题意得：
解得∶，
经检验：是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
【小问2详解】
解：设甲种农机具最多能购买件，则：
解得：
因为a为正整数，则，
答：甲种农机具最多能购买件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到（图中已标出点C的对应点）．
（1）在给定方格纸中画出；
（2）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，线段的垂直平分线即为对称轴，作出，的对应点，即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
（3）求出的面积即可．
【小问1详解】
如图，即为所求作．
【小问2详解】
如图，线段，即为所求作．
【小问3详解】
．
21. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出∠DBA=30°，据此即可证得；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BD=CD，求出AD=CD，据此求出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
【小问2详解】
解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴，
∵AD＝BD，
∴，
∵AC=12，
∴AD＝4，
∴BD＝AD＝4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，共23分．
22. 如图①，把一个长为、宽为的长方形，沿虚线剪开，均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图②）．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．（用含m、n的式子表示）
方法1：______；
方法2：______；
（2）根据（1）中结论，请你写出式子、、之间的等量关系：______；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x，y满足，，则______；
（4）许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了，试画出一个几何图形，使它的面积能表示：．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）见解析
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
（1）第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
（2）利用可求解；
（3）利用，再求，即可解答．
（4）根据多项式画出图形，即可解答．
【小问1详解】
方法1：,
方法2：；
故答案为：，；
【小问2详解】
由（1）可得：；
故答案为：；
小问3详解】
，
，，
，
，
故答案为：；
【小问4详解】
如图
23. 如图1，点C在线段上（点C不与点A、B重合），分别以为一腰在同侧作两个等腰三角形和等腰三角形，其中，，，连接、交于点P．
（1）【观察猜想】
①与的数量关系是______；
②的度数为______．
（2）【数学思考】
将绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，上述猜想①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给子证明．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1），
（2）成立，证明见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用面积法证明高相等，属于中考压轴题．
（1）只要证明，再根据全等三角形的性质即可解决问题；
（2）只要证明，再根据全等三角形的性质即可解决问题；
（3）如图中，分别过作，垂足为，过点作，垂足为，利用面积法证明，再利用角平分线的判定定理证明即可解决问题；
【小问1详解】
如图1中，
，
，
，
又，，
．
，
，
，
，
故答案为，；
【小问2详解】
成立，
证明：如图1中，
，
，
，
又，，
．
，
，
，
；
【小问3详解】
证明：如图中，分别过作，垂足为，过点作，垂足为，
．
，
（全等三角形的面积相等），
，
（角平分线的性质定理的逆定理），
，，，
．