广东省惠州市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学检测数学试题

这是一份广东省惠州市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学检测数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，即可得解．
【详解】解：的倒数是2；
故选A．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积是1的两个数互为倒数，是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形；
C：是轴对称图形 ，也是中心对称图形；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高故选：C．
3. 我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据2.32亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：2.32亿．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项符合题意；
B、(-a3)2=a6，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除法，同底数幂相除法，熟练掌握合并同类项、幂的乘方 、，同底数幂相除法、同底数幂相除法运算法则是解题的关键．
5. 关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理得到∠DBA＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠BAD＝∠DBA，
∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD＝30°，
∴AB＝2AC，
由勾股定理得，AB2﹣AC2＝BC2，
即
解得，AB＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
7. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 时，随的增大而减小D. ，函数有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意；
∵抛物线，
∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意；
C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意；
D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若的度数为，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出和的度数，再计算出的度数即可．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转角是解决本题的关键．
9. 如图，是的外接圆，是的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，则∠DAC=90°，根据圆周角定理可求出∠B的度数等于∠D的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠ACD的度数．
【详解】解：连接AD，
∵CD是圆的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠B=∠D=35°，
∴∠ACD=90°-∠D=90°-35°=55°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理，解题的关键是连接AD，构造出直角三角形．
10. 如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：=__________
【答案】
【解析】
【详解】解：
故答案为：
12. 一组数据3、、8、12、0，这组数据的中位数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查中位数的定义，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，先将数据从小到大进行排序，找出中间位置的数即可得到答案．
【详解】解：数据3、、8、12、0从小到大进行排序为，0，3，8，12，
∴中位数为：3，
故答案为：3．
13. 函数中，自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】由题意得，解得，
故答案为：．
14. 一个扇形的面积是，圆心角是120°，则此扇形的半径是______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用扇形的面积计算公式直接代入计算即可．
【详解】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得：，
整理得：
解得：r＝±3（负值舍去），即r＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的解法，掌握扇形面积的计算公式是解决问题的关键．
15. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
16. 正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，求得的坐标，然后根据，，的坐标归纳总结规律得出的坐标即可．
【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为，
∴正方形边长为，正方形边长为，
∴的坐标是，A2的坐标是，
代入得，解得，
则直线的解析式是：，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
∵的横坐标是：，的纵坐标是：，
的横坐标是：，的纵坐标是：，
的横坐标是：，的纵坐标是：，
…
∴横坐标是：，的纵坐标是：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、坐标的变化规律等知识点，根据B点的坐标总结规律是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共4个小题，共20分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算立方根和乘方，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19. 如图，已知．
（1）绕O逆时针旋转，得到，画出旋转后的；并直接写出点的坐标；
（2）作出关于原点O的中心对称图形．并直接写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，（3，-1）
【解析】
【分析】(1)分别确定点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点，得到所求；
(2) 分别确定点A、B、C关于O中心对称的对应点，得到所求．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标；
小问2详解】
如图，△A2B2C2即为所求．
B2（3，-1）．
【点睛】本题考查作图——中心对称图形以及旋转作图，解决问题关键是掌握旋转作图的方法．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先化简括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
四、解答题（本大题共3个小题，共28分）
21. 如图，直线分别交x轴、y轴于，交双曲线于点C、D．
（1）求k、b的值；
（2）写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】此题是反比例函数和一次函数综合题，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）把A、B两点的坐标代入中列出方程组，即可解得k、b的值；
（2）由一次函数和反比例函数的解析式组合成方程组，解方程组即可求得点C、D的坐标，这样结合图象即可得到所求不等式的解集了.
【小问1详解】
解：∵直线分别交x轴、y轴于，
∴ ，
解得，；
【小问2详解】
由（1）可得，直线为，
联立得到，
解得：，，
∴，
由图象可知，不等式的解集是：或．
22. 红岭中学最近要举办艺术节，节目分别有：A舞蹈、B戏剧、C唱歌、D漫画与书法．下面随机抽取部分同学调查最喜爱哪项节目，得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名同学．
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为 度．
（3）在本次调查访问中，小明和小亮从“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”，选出一种自己最喜欢的节目．请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种节目的概率．
【答案】（1）200；（2）见解析，108°；（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）由B类人数除以所占百分比即可；
（2）求出D类、A类人数，即可解决问题；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名同学，
故答案为：200；
（2）D类人数为：200×20%＝40（名），
则A类人数为200﹣56﹣44﹣40＝60（名），
∴360°×＝108°，
即在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为108°，
故答案为：108，
补全条形统计图如下：
（3）把“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小明和小亮两人恰好选择同一种节目的结果有3个，
∴小明和小亮两人恰好选择同一种节目的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
23. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【答案】（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，==；
（2）P===，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得=6000，
解得，，
∵抛物线P=的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，
又∵x≤58，
∴50≤x≤58，
∵在中，＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
【点睛】考点：二次函数的应用．
五、综合题（本大题共2个小题，共24分）
24. 如图，把矩形沿折叠，使点D与点E重合，交于点F，过点E作交于点G，交于点H，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点O，求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图, 连接交于点，构造，由该相似三角形的对应边成比例求得；
（3）根据，可求的长，的长，通过证明可得的长，即可求的值．
【小问1详解】
证明：由折叠可知，，
∵，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形.
，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
如图, 连接交于点，
∵四边形是菱形,
，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
；
【小问3详解】
设，则，，
，
解得 (不合题意，舍去)
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
25. 如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点是线段AO上的一个动点，其中，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；当时，L有最大值
（3）存在；Q点坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）根据直线求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；
小问1详解】
解：由经过点A，B的直线的表达式为．可知，，
∵抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
∵，
∴顶点；
【小问2详解】
解：如图①，
∵直线轴，点，
∴，，，
∴，，
∴ ，
即．
，
∴当时，L有最大值；
【小问3详解】
解：存在．
理由如下：
如图②，∵，，
∴．
∵Q在直线上，
∴设 ，
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①以A为圆心，AB为半径画圆弧，与抛物线对称轴交于点Q1、Q2，如图②．
∵，
∴，
∴，或，
∴，；
②以B为圆心，AB为半径画圆弧，与抛物线对称轴交于点Q3、Q4，如图②．
∵，
∴，
∴，或，
∴，．
综上，Q点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了直线与x轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式以及二次函数解析式的顶点式，勾股定理的应用，二次函数的最值问题以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键．