黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，根据幂的乘方法则进行解答是解题的关键，解题时要细心．
4. 如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，是一个标准“L”型，从而可确定答案．
【详解】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，故是C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由小正方体组成的几何图形的三视图，一定的空间想象力是解决问题的关键．
5. 将抛物线向上平移2个单位，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位得到解析式：，即．
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可．
【详解】解：设木长x尺，
根据题意有：．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7. 如图，与相切于点，的延长线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质以及直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握是切线的性质解题的关键．
8. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数求出，利用勾股定理求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形函数的应用，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式是解题的关键．
9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
10. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程（单位：千米）与时间（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】结合图象求甲的骑行速度和时间，再求甲家到乙家的距离a即可．
【详解】解：观察图象可得，甲在红灯后用3分钟骑行了1.2千米，
∴甲的骑行速度为：（千米/分），
∵从甲家到乙家共用时6分钟，其中等红灯用了1分钟，
∴甲骑行共用时5分钟，
∴甲家到乙家的距离为：（千米），
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，学会观察函数图象，从中获取需要的信息是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 水星和太阳的平均距离约为57900000km，用科学记数法表示为__________.
【答案】5.79×107
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将57900000用科学记数法表示为：5.79×107．
故答案为5.79×107．
【点睛】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵函数要有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
13. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式
，
．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14. 把多项式因式分解的结果是 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15. 不等式组的最小整数解为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
∴最小整数解为，
故答案为：．
16. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17. 一个布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出两个球，都是红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：∵布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______.
【答案】30°
【解析】
【详解】设圆心角为n°，由题意得：=12π，
解得：n=30，
故答案为30°．
19. 在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则_____
【答案】或
【解析】
【分析】当为锐角时，如图1，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：，，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：当为锐角时，如图1，设，，
∵，
∴，，，

∵分别垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当为钝角时，如图2，

∵分别垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20. 如图，中，，点在边上，连接，点是的中点，交于点，交于点，，若，，则的长为_____________.

【答案】
【解析】
【分析】延长到点G，使得，连接，，则有，，进而得到，根据相似三角形的对应边成比例求得，，即可求得，然后利用勾股定理得到长，然后过点D作于点K，根据，求出，然后利用得到长进而求出答案．
【详解】解：延长到点G，使得，连接，，
又∵，
∴，，
又∵交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，交于点，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
过点D作于点K，

则，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数，熟知分式混合运算的法则，特殊角的三角函数值，是解答此题的关键．
22. 如图．在平面直角坐标系网格中的顶点都在格点上，点

（1）作出关于原点对称的，并写出点的坐标
（2）把绕点C逆时针旋转90度，得，画出并写出点的坐标
（3）在（2）的条件下，请求出线段在旋转过程中扫过的面积
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B对应点的位置，然后顺次连接，再写出的坐标即可；
（2）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次，再写出即可；
（3）线段在旋转过程中扫过的面积即为半径为的长，圆心角度数为90度的扇形面积，据此先利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
∴点的坐标为
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
解：由题意可知，线段在旋转过程中扫过的面积即为半径为的长，圆心角度数为90度的扇形面积，
∵，
∴线段在旋转过程中扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，勾股定理，求扇形面积等等，正确根据题意画出关于原点对称和旋转后的图形是解题的关键．
23. 国家环保局统一规定，空气质量分为5级：当空气污染指数达0—50时为1级，质量为优；51—100时为2级，质量为良；101—200时为3级，轻度污染；201—300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：
（1）本次调查共抽取了 天的空气质量检测结果，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 ；
（3）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动．(说明：2015年共365天)
【答案】（1）50，补图见解析
（2）72 （3）2015年该城市有219天不适宜开展户外活动．
【解析】
【分析】（1）根据4级的天数和所占的百分比求出抽查的总天数，再用总天数减去其它的天数即可求出5级的天数，从而补全统计图；
（2）用乘以3级空气质量所占的百分比求出3级空气质量所对应的圆心角的度数；
（3）用一年的天数乘以中度污染或者以上所占的百分比，求出2015年该城市不适宜开展户外活动的天数．
【小问1详解】
解：由条形图统计图得4级调查的天数为：24天，由扇形统计图得4级调查天数所占比例为：，
∴本次调查的总天数（天），
5级的天数是：（天）；
故答案为：50；
补图如下：
【小问2详解】
解：由条形图得3级调查的天数为10天，总调查天数为50天，
∴扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为： ，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵4级为中度污染：5级为重度污染
∴不适宜进行户外活动的天数估算为：（天），
答：2015年该城市有219天不适宜开展户外活动．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体和扇形统计图，解题的关键是将条形统计图的数据和扇形统计图的数据相结合．
24. 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
（1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上.求证：四边形是正方形.
（2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上.连结，若，，求菱形的面积
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得： ， 则四边形是矩形，然后由，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出是菱形，由菱形面积公式得，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形,
，
由折叠的性质得：
∴四边形是矩形，
由折叠的性质得：，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
如图，
∵ ，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、 正方形的判定、 菱形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质、 等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键.
25. 某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
【答案】（1）A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装17套．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用两种套装套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.
试题解析：
（1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．
根据题意得：=2×，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5为分式方程的解，
∴x+2.5=10．
答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元．
（2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，
根据题意得：（13﹣10）a+（95﹣7.5）（2a+4）＞120，
解得：a＞16，
∵a正整数，
∴a取最小值17．
答：最少购进A品牌工具套装17套．
点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.
26. 已知、是圆的直径，于，连接．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，是上一点，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，的延长线交于，若，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）如图1，先根据同角的余角相等得：，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得结论；
（2）如图2，作辅助线，先根据垂径定理得：，由三角形中位线定理得：，证明，则；
（3）如图3，设，则，，根据勾股定理列方程：，解出的值，得，证明，列比例式可得结论．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，延长交于，连接、、，
，
∴，是的中垂线，
∴，
，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，
解得（舍去），或，
∴，
∴，，
，
，
，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形相似和全等的性质和判定，有难度，第2问作辅助线构建是关键，第3问设未知数，根据勾股定理列方程，求出圆的半径是关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点A，与的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过作∥y轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接、，当，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据解析式可以计算抛物线对称轴，再根据关系即可得出点坐标，把其中一个代入解析式即可解答；
（2）过点作轴于点，根据题意得到点坐标，分别计算，最后根据进行解答；
（3）过点作于点，过点作轴于点，所以四边形、四边形是矩形，，用含的式子表示出的长,最后根据即可解答．
【小问1详解】
∵抛物线与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，
∴，对称轴
∴
∴，
，即 ,
把代入 得:
解得： ，
；
【小问2详解】
由（1） 得: ，
∴点与点关于对称轴对称，坐标为
∵点的横坐标的，点是第四象限内抛物线上一点，
，
∵，
，

，
，
，
∴+
【小问3详解】
过点作于点，过点作轴于点，
∴四边形、 四边形是矩形, ，
∵，
，
，
，
，
由（2）知: ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
∴，
∴，即，
解得： ，
．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，函数图象与坐标轴的交点，解题关键是根据问题恰当作出辅助线，难度较大．