湖南省岳阳市岳阳楼区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳楼区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共23页。试卷主要包含了 一元二次方程的根的情况是， 如图，在中，，，则等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.本试卷共三道大题，26小题，满分120分，考试时量 120分钟；
2.本试卷分为试题卷和答题卡，所有答案都必须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内；
3.考试结束，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场．
一、选择题（本大题共10道小题，每小题 3分，满分30分）
1. 下列各点在反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得k＝xy＝﹣4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于−4，就在函数图象上．
【详解】A、1×4=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，A选项不符合题意；
B、﹣2×2=﹣4，故点在反比例函数图像上，B选项符合题意；
C、﹣2×﹣2=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，C选项不符合题意；
D、﹣4×﹣1=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高，
或，
解得，，
故选：D．
3. 如果、都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，内项积等于外项积，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，可得到，不符合题意；
B、，可得到，符合题意；
C、，可得到，不符合题意；
D、，可得到，不符合题意；
故选B．
4. 顶点为，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，根据二次函数的性质及顶点坐标求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【详解】解：∵顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵开口方向、形状与函数的图象相同，
∴，
∴抛物线解析式为，
故选：．
5. 某养鸭场有若干只鸭，某天捉到30只全部做上标记，又过了一段时间，捉到50只，其中有2只有标记，那么估计该养鸭场有鸭子（ ）
A. 500只B. 650只C. 750只D. 900只
【答案】C
【解析】
【分析】设该养鸭场有鸭子x只，利用样本估计整体，有记号的鸭子与鸭子的整体的比为2：50，从而得＝，然后求出x即可．
【详解】解：设该养鸭场有鸭子x只，
由题意得＝，
解得，x＝750，
经检验: x＝750是原方程的解.
所以估计该养鸭场有鸭子750只．
故选：C．
【点睛】此题考查的是比例的应用,掌握用样本估计整体列出比例方程是解决此题的关键.
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】利用判别式计算解答
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点 的坐标是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换及性质，以原点为位似中心，把缩小为原来的，根据位似变换的性质求出点的对应点 的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【详解】∵以原点为位似中心，把缩小为原来的，点的对应点，
∴或，
∴对应点 的坐标是或，
故选：．
8. 如图，在中，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义是解答本题的关键，首先在中，利用正弦函数的定义得到，然后设，求出的长，最后根据正切函数的定义即可求得答案．
【详解】如图，在中，，，
设，则，
，
．
故选：B．
9. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A. B. C. 平分D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键．
【详解】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：
①或平分；
②；
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】过点A、B作分别垂直于轴交于点，证明，根据全等三角形对应边相等得到，设，根据解题即可．
【详解】过点A、B作分别垂直于轴交于点，
设
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分共 24分）
11. 将一元二次方程方程化成一般形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式解答即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：方程去括号得，，
移项得，，
故答案为：．
12. 把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
点向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为，
所以平移后抛物线的表达式为．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【解析】
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【点睛】本题考查了反比例函数应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
14. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡比的定义可得，即可得，再结合勾股定理可得答案．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键．
15. 若一元二次方程的两个根为，，则＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】先对进行通分，然后利用一元二次方程根与系数之间的关系可得到结果．
【详解】解：由可知，
，，
∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，通分找到两根和与两根积是解题的关键．
16. 相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于厘米，那么相邻一条边的边长等于______厘米
【答案】
【解析】
【分析】设相邻一条边的边长为x厘米，根据黄金比值计算即可．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值是解题的关键．
【详解】解：设相邻一条边的边长为x厘米，
∵相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为岁，
故答案为：．
18. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是______．（只填写序号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故、正确；
∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴关于的方程的两根为，故正确；
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∵
∴，故正确；
∴正确的是，
故答案为：．
三、解答题（本题共8 小题，满分共 66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
20. 已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
【答案】6
【解析】
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，有，计算求解即可．
【详解】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4
∴
∴AC＝6．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质．解题的关键在于证明三角形相似．
21. 定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”．
（1）下列方程是“差方程”的是______；（填序号）
① ② ③；
（2）若方程是“差方程”，求的值．
【答案】（1）② （2）或
【解析】
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解．
【小问1详解】
解：①，
，
∴，
，不是整数根，故①不是“差方程”；
②，
，
∴，
∴，故②是“差方程”；
③，
，
，
∴方程无整数根，故③不是“差方程”；
故答案为：②；
【小问2详解】
解：方程因式分解得，
解得：，.
∵方程为“差方程”，
∴，
解得：或.
22. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生共有_______人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有_______人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
【答案】（1）200，122
（2）442人 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据条形统计图求出参与调查的人数，再用参与调查的人数乘以选择“自己主动”体育锻炼的学生人数占比即可得到答案；
（2）用2600乘以样本中每周体育锻炼8小时以上的人数占比即可得到答案；
（3）从建议学生加强锻炼的角度出发进行描述即可．
【小问1详解】
解：人，
∴参与本次调查的学生共有200人，
∴选择“自己主动”体育锻炼的学生有人，
故答案为：200，122；
【小问2详解】
解：人，
∴估计全校可评为“运动之星”的人数为442人；
【小问3详解】
解：体育锻炼是强身健体的一个非常好的途径，只有有一个良好的身体状况，才能更好的把自己的精力投入到学习中，因此建议学生多多主动加强每周的体育锻炼时间．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数解析式和一次函数解析式；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接 ，，求的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把坐标代入即可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象即可求解；
（）求出点坐标，由计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：如图，连接、，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
24. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【解析】
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
25. 如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）求证四边形为菱形；
（3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解；
（2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）分和两种情况分别讨论即可求解．
小问1详解】
解：如图
四边形是矩形，，，
，，
将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
【小问2详解】
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
四边形为菱形；
【小问3详解】
，设，是直角三角形
设
由（2）可得
①当时，如图，
，,
解得；
②当时，
同理可得
综上所述，或
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
26. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）①3；②
（2），
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合思想求解是解题的关键．某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是（ ）
A．0～4小时 B．4～6小时
C．6～8小时 D．8～小时及以上
问题2：你体育锻炼的动力是（ ）
E．家长要求 F．学校要求
G．自己主动 H．其他