湖南省岳阳市岳阳楼区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳楼区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的立方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根．根据求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴的立方根是，
故选：A．
2. 下列各数中，是无理数是（ ）
A. 0.3B. C. D. 1.6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数、开不尽的算术平方根也是无理数进行判断即可．
【详解】解：A、0.3是有理数，故该选项不符合题意；
B、是有理数，故该选项不符合题意；
C、是无理数，故该选项不符合题意；
D、1.6是有理数，故该选项不符合题意，
故选：C
3. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可．
【详解】A. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高B. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D. 与，被开方数同，是同类二次根式，符合题意；
故选D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方逐项运算排查即可．
【详解】解A．与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意；
B．，则此项错误，不符合题意；
C． ，则此项正确，符合题意；
D． ，则此项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可选择．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为：．
所以在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及其数轴表示，掌握求一元一次不等式组的解的口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7. 是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
8. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF是（ ）
A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，
A. 添加一个条件AB=DE，
又

故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又
故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD
又
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种万人，再结合结果提前天完成了这项工作，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，
实际每天接种万人，
又结果提前天完成了这项工作，
．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．
【详解】解：∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．
12. 某种病菌的形状为球形，直径约是，用科学记数法表示这个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】0.000000102的小数点向右移动7位得到1.02，
所以0.000000102用科学记数法表示为，
故答案为．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
详解】解：∵，，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14. 对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
15. 若关于x的方程无解，则m 的值为_________．
【答案】3或1
【解析】
【分析】先去分母，将分式方化为整式方程求解，再根据分式方程无解的情况：有增根或解无意义，即可进行解答．
【详解】解：，
，
，
，
∵原方程无解，
∴或，
解得：或1，
故答案为：3或1．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况：有增根或解无意义．
16. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接． 有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误．
【详解】解：∵和是的轴对称图形，
∴，
∴，故①正确．
∴，
由翻折的性质得，，
又∵，
∴，故②正确．
∵，
∴，
∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等，
∴平分，故③正确．
在和中，，
∴，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19. （1）解方程：;
（2）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程、求不等式组的整数解等知识点，掌握相关计算方法成为解题的关键．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验解答即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再确定正整数解即可．
【详解】解：（1），
检验：当时，，
所以是原分数方程的解．
（2）
解不等式①可得：，
解不等式②可得：；
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的正整数解为：．
20. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠CBE=180°．求证：

（1）BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF＝CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；
（2）由（1）中的全等得：DF＝BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE＝AF，根据线段的和与差得出结论．
【详解】证明：（1）过C作CF⊥AD于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．
21. 如图，在中，垂直平分的周长为．求：
（1）的度数；
（2）的周长．
【答案】（1）
（2）的周长为29
【解析】
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为垂直平分，所以．
因为的周长为，
所以，
即，
所以的周长．
22. 已知的平方根是，的立方根为．
（1）求a与b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查平方根及立方根的定义，根据若，那么是的平方根记作，若，那么是的平方根记作直接求解即可得到答案；
（2）本题考查算术平方根的定义，根据一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵的平方根是，
∴，
解得：，
∵的立方根是，
∴，
解得：，
∴，；
【小问2详解】
解：当，时，
，
∴的算术平方根为．
23. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【答案】（1）200 （2）140
【解析】
【分析】对于（1），设第一次购进冰墩墩x个，可表示第二次购进的个数，再根据单价的差=10列出分式方程，再检验即可；
对于（2），由（1）可知第二购进冰墩墩的数量，再设每个冰墩墩得标价是a元，根据销售利润率不低于20％列出一元一次不等式，求出解集即可．
【小问1详解】
解：设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进2x个，根据题意，得
，
解得x=200，
经检验，x=200是原方程得解，且符合题意.
所以该商家第一次购进冰墩墩200个；
【小问2详解】
解：由（1）可知第二次购进冰墩墩的数量是400个，设每个冰墩墩得标价是a元，得
(200+400)a≥(1+20％)(22000+48000)，
解得a≥140．
所以每个冰墩墩得标价是140元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量（不等）关系列出方程和不等式是解题的关键．
24. 仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【解析】
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
25. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AFG和△AFE中，，
∴△AFG≌△AFE，
∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；
（2）EF＝DF−BE；
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE＝FE'，
又∵FE'＝DF−DE'，
∴EF＝DF−BE；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
同（1）可证△AED≌AED'，
∴DE＝D'E．
∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，
∴∠ECD'＝90°，
在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．